Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Книги по математике
Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать несобственный
интеграл на сходимость?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ


По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Онлайн курсы для всех!



  Карта сайта



Двумерная непрерывная случайная величина.
Функция распределения вероятностей и функция плотности


В предыдущих двух статьях (ссылки по тексту) мы рассмотрели двумерную дискретную случайную величину , в том числе с зависимыми компонентами , и теперь перейдём к двумерной непрерывной СВ. Задач запланировано немало, и поэтому сразу начинаем.

По аналогии с одномерным случаем, для системы случайных величин тоже вводится понятие функции распределения вероятностей, она определяется как  – вероятность того, что случайная величина  примет значение мЕньшее, чем  и  – мЕньшее, чем , при этом переменные  «пробегают» все действительные значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Откуда следует, что данная функция  удовлетворяет неравенству , является неубывающей по каждому аргументу и обладает предельными свойствами . Таким образом, и в содержательном и в математическом смысле это пространственный аналог одномерной функции распределения вероятностей.

…всем всё понятно?  … – на сайте есть всё для понимания! (ссылки в помощь). Впрочем, люди здесь собрались подготовленные («чайникам» эту тему не предлагают), и поэтому я не буду стесняться в выражениях :) И юмор тоже будет изощрённым.

Если система  состоит из дискретных случайных величин, то  представляет собой кусочную функцию двух переменных с графиком-«лестницей» в пространственной системе координат . Будете первопроходцами ;) (Пример 7)

Если же компоненты  – непрерывны, то  непрерывна в любой точке плоскости  и её график представляет собой кусочно-гладкую или даже полностью гладкую поверхность, пожалуйста: .

Проверим, что для этой функции выполняются все свойства функции распределения. Так как арктангенс (смотрим или вспоминаем график) – есть возрастающая функция, то с увеличением «икс» и / или «игрек» наша функция тоже будет возрастать. Учитывая предельные значения , легко убедиться, что:
 – вероятностный смысл этого результата состоит в том, что случайная величина  достоверно примет одно из значений  с конечными «координатами».

, а также:

здесь смысл тоже прост – СВ не может принять значение с «иксом» и / или «игреком», который бы был меньше, чем «минус бесконечность».

И из вышесказанного следует, что данная функция может принимать значения только из промежутка .

Кроме того, функция распределения обладает ещё одним свойством. Если мы устремим  к , то получим:
 – не что иное, как функцию распределения вероятностей случайной величины , которая рассматривается отдельно, без случайной величины .

И «зеркальный» случай. Если , то:
 – получается функция распределения случайной величины  без учёта компоненты .

Здесь  получились одинаковыми, но в общем случае они, конечно, различны.

Едем дальше:

Помимо функции , для двумерной непрерывной СВ вводится понятие функции плотности распределения вероятностей, которая определяется как смешанная производная 2-го порядка от функции распределения:

График этой функции называют поверхностью распределения, и в силу свойства  данная поверхность «висит» над координатной плоскостью .

Найдём плотность распределения в нашем демонстрационном примере. Для этого сначала возьмём частную производную, например, по «икс»:

и затем дифференцируем полученный результат по «игрек», получая тем самым смешанную производную 2-го порядка:

Аналогично одномерному случаю, для функции плотности справедлив следующий факт:
, который означает, что в результате испытания случайная величина  достоверно примет одно из своих возможных значений .

Если все возможные пары  образуют ограниченную область  (как оно часто бывает), то свойство выражается через обычный двойной интеграл по этой области:

…будём проверять свойство для нашего примера? :) Ну, конечно, будем, двойной несобственный интеграл здесь очень прост:

Сначала вычислим внутренний несобственный интеграл. Ввиду чётности подынтегральной функции, интервал интегрирования удобно споловинить, а результат удвоить:
 – подставляем во внешний интеграл:
, что и требовалось проверить.

Следует заметить, что самого по себе выполнения свойства  ещё не достаточно для того, произвольная функция  задавала плотность распределения. Всегда проверяйте, что она неотрицательна, в нашем случае – положительна:
 – для ЛЮБЫХ «икс», «игрек».

Обратно: как получить функцию , если известна плотность ?
По стандартной формуле:

В качестве разминки найдите  – двойной несобственный интеграл с бесконечными нижними пределами и получИте исходную функцию распределения. Одномерный аналог этой задачи рассмотрен в Примере 6 статьи Непрерывная случайная величина.

После чего разберём более содержательное задание, узнаем новые формулы и порисуем заодно:

Пример 6

Непрерывная двумерная случайная величина  распределена равномерно в прямоугольнике с вершинами . Требуется:

1) Составить функцию плотности распределения  случайной величины  и плотности распределений  составляющих  и .

2) Найти функцию распределения вероятностей .

3) Вычислить

Построить графики .

Решение: из условия следует, что случайная величина  с равной вероятностью может принять любое значение из области , которая ограничена прямоугольником :
Случайная величина равномерно распределена в прямоугольной области
По сути, перед нами двумерная версия равномерного распределения вероятностей, и для нахождения её плотности проще всего разделить единицу на площадь области . Очевидно, что эта площадь равна  и искомая функция плотности:

Сразу изобразим график, его сподручнее построить от руки:
График плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины
Здесь я символически очертил всю плоскость , дабы указать, что функция  определена в любой её точке. Убедимся, что мы действительно составили функцию плотности, для этого нужно проверить её характеристическое свойство:

, что и требовалось проверить.
Легко видеть, что двойной интеграл  численно равен объёму цилиндрического бруса, в данном случае – параллелепипеда с основанием  и высотой

Составим плотности распределения  случайных величин  и . Для этого есть специальные формулы:
 и  при иных значениях .

Примечание: поскольку компонента  принимает значения лишь из промежутка от 1 до 3, то .

И «зеркальные» выкладки:

Проверим, что полученные функции действительно являются одномерными плотностями распределения вероятностей:

2) Составим функцию распределения  – вероятностей того, что компонента  примет значение СТРОГО меньшее, чем  и  – СТРОГО меньшее, чем , при этом нам нужно учесть все значения переменных  – от «минус» до «плюс» бесконечности.

Так как двумерная СВ может принимать значения лишь из прямоугольника , то при   или  функция распределения будет равна нулю: , на чертеже ниже я заштриховал эту площадь серым цветом (логическая связка «или» подразумевает выполнение хотя бы одного неравенства). Наоборот, при  событие  – будет достоверным (зелёная штриховка). Теперь восстановим функцию распределения в центральной области:
 – в результате получено уравнение гиперболического параболоида («седла») с вершиной в точке , чертёж этой поверхности можно найти в начале статьи об экстремумах ФНП.
Примечание: вне прямоугольника интеграл  равен нулю, и поэтому мы сразу перешли к левой нижней точке: .

И осталось прояснить ситуацию с областями, отмеченными красной и малиновой галочками:
При построении функции распределения мы анализируем различные области плоскости XOY
В области  (красный цвет) событие  является достоверным, и поэтому функция  упрощается до функции распределения по компоненте :
 – и не пренебрегаем элементарной проверкой:

В области  (малиновый цвет) достоверным становится событие  и поэтому:
, контроль:

В обоих случаях получены уравнения плоскостей, и я рад представить вам свой небольшой шедевр:
График функции распределения двумерной непрерывной случайной величины
…надо было заснять на веб камеру, глядишь, станет классикой постиндустриальной живописи :)

Таким образом, функция распределения вероятностей:

Обратите внимание, что в нашей задаче справедливо равенство , и это означает, что... скоро узнАем!

3) Вычислим  – вероятность того, что случайная величина примет значение из указанной в скобках области. Это можно сделать двумя способами, по формуле:

в нашем случае:

Примечание: данная формула справедлива как для строгих, так и для нестрогих неравенств в различных комбинациях – в силу непрерывности функции , это не имеет значения. Но обратите внимание, что значения «икс», «игрек» следует подставлять в нужный «кусок» функции распределения, так, например, при нахождении  не следует проводить вычисления .

Второй способ состоит в нахождении двойного интеграла от функции плотности по соответствующей области:

Вероятность  вычислим по той же формуле (см. выше), принимая во внимание предельные значения :

или так:

И, наконец:
– по той причине, что этому условию удовлетворяют все точки прямоугольника  за исключением нижней стороны , но с позиций геометрии её площадь равна нулю, и поэтому данный факт не принимается во внимание. О подобном парадоксе я уже рассказывал, когда мы изучали функцию распределения одномерной случайной величины.

В этой связи, кстати, задача с открытой областью  будет решаться аналогично, с той поправкой, что придётся скорректировать строгость неравенств при записи функции плотности распределения.

Возможно, у вас возник вопрос: а почему я не разобрал построение функции распределения для двумерной дискретной СВ? Дело в том, что даже в простых случаях у такой функции получается 10-20 кусков, и поэтому такое задание, как правило, не предлагают для решения. Впрочем, в очень простом случае кусков будет всего 5, и я-то предложу вам маленькую факультативную задачку:

Пример 7

Двумерная дискретная случайная величина  задана таблично:

Составить функцию распределения.

Эта СВ взята из демонстрационного примера статьи о зависимых случайных величинах, и если вам совсем трудно, то вспомните её содержательный смысл. Краткое решение совсем близко. Желающие могут построить график, и если он получился удачно – присылайте, опубликую!

И задача для закрепления материала:

Пример 8

Непрерывная двумерная случайная величина  задана своей функцией распределения   в квадрате  и принимает значения только из этой области. Найти:

1) значение параметра  ;

2) функцию плотности распределения и проверить, что она является таковой;

3) плотности составляющих , выполнить аналогичную проверку;

4) вероятности .

Таблица значений тригонометрических функций в помощь. И на всякий случай таблица производных и интегралов, …ну а кому сейчас легко? :) …я и сам как-то опрометчиво предположил, что решение пункта 4 легче провести через интегралы, но оно оказалось явно не легче :) Поэтому, всегда анализируйте, какой способ выгоднее.

Стараемся всё решить самостоятельно – не подглядываем!

Жду вас в заключительной части темы, где мы поговорим о независимости и зависимости двумерной непрерывной случайной величины, её условных законах распределения, математических ожиданиях, дисперсиях и коэффициентах ковариации, корреляции.

Решения и ответы:

Пример 7. Решение:

Если  или , то
Если , то
Если , то  (вероятности просуммировали по строке)
Если , то  (вероятности просуммировали по столбцу)
Если , то

Пример 8. Решение:

1) Так как случайная величина принимает значения только из указанного квадрата, то значение функции распределения в его правом верхнем углу должно равняться единице:
, откуда следует:

Таким образом:

2) Функцию плотности распределения найдём по формуле . В данном случае:

Таким образом, , если   и  при иных значениях аргументов.

Примечание: не забываем, проконтролировать, что  для любых значений «икс», «игрек» из рассматриваемого квадрата.

Проверим выполнение свойства . В данном случае этот интеграл равен:

, что и требовалось проверить.

3) Найдём плотности распределения составляющих:

Контроль:

, что и требовалось проверить.

В силу «симметрии» функции  относительно аргументов:
.

4) Искомые вероятности вычислим с помощью двойных интегралов от функции плотности по соответствующим областям:

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2018. Копирование материалов сайта запрещено