Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Книги по математике
Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать несобственный
интеграл на сходимость?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ


По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Онлайн курсы для всех!



  Карта сайта



6. Формула для вычисления дисперсии.
Среднее квадратическое отклонение. Коэффициент вариации


В первой части урока мы рассмотрели размах вариации, среднее линейное отклонение и дисперсию, и продолжение темы в заголовке. Многие из этих показателей фигурируют в теории вероятностей, и если вы зашли с поисковика именно за ними, то сразу ссылка на нужную статью: Дисперсия дискретной случайной величины – там же всё остальное.

Ну а здесь на повестке дня Математическая статистика (организационный урок для «чайников»), и мы продолжаем изучать показатели вариации:

Всё с формулами, примерами решений и техникой рациональных вычислений.

И снова о дисперсии.

На предыдущем занятии мы рассчитывали дисперсию по определению:
 – для несгруппированных данных и
 – для дискретного либо интервального вариационного ряда.

Если известно, генеральная ли нам дана совокупность или выборочная, то хорошим тоном считается поставить подстрочные индексы:  либо .

Расчёт дисперсии по определению прост и реально используется на практике, но существует ещё более простой и удобный способ вычисленияпо формуле, которую несложно вывести из определения:

 – дисперсия равна разности средней арифметической квадратов всех вариант статистической совокупности и квадрата средней самих этих вариант.

ОСМЫСЛЕННО повторяем ВСЛУХ и вникаем! … Карл украл у Клары кораллы, а Клара украла у Карла кларнет :)

Если что-то не очень понятно, то сейчас всё станет на свои места:

Для несгруппированных вариант  выборочной совокупности формула детализируется следующим образом:

и для готового вариационного ряда – так:
, где  – кратные (одинаковые) варианты дискретного ряда либо середины интервалов интервального ряда, а  – соответствующие частоты.

Для генеральной дисперсии  формулы те же, только с буквами  вместо . Во многих случаях удобно использовать просто значок суммирования  – без переменной-«счётчика», поскольку в контексте той или иной задачи и так понятно, что суммируется.

И начнём мы со знакомой подопытной задачи:

Пример 15

В результате 10 независимых измерений получены опытные данные, которые представлены в таблице:

Это данные из Примера 13, и на этот раз нам требуется вычислить дисперсию с помощью формулы. Напоминаю, что там мы её рассчитали по определению и получили результат , таким образом, ответ известен заранее, и это всегда круто. Всегда, когда он правильный.

Решение: используем формулу .
Для этого нужно найти выборочную среднюю, повторим действие: ,
вычислить квадраты всех вариант:

и их сумму:
Результаты вычислений удобно заносить в таблицу:

Осталось применить формулу:
, что и требовалось увидеть.

Ответ:

Теперь случай сформированного вариационного ряда. В Примере 14 мы потренировались на дискретном ряде, и сейчас очередь интервального:

Пример 16

С целью изучения вкладов в Сбербанке города проведено выборочное исследование, в результате которого получены следующие данные:

Вычислить выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение, оценить соответствующие показатели генеральной совокупности.

Автор задачи заботливо подсчитал объем выборки , но не «закрыл» крайние интервалы. Такая вещь уже встречалась, и решение мы начинаем с этого закрытия. Поскольку длины внутренних интервалов составляют  д.е., то логично рассмотреть такую же длину и по краям, то бишь, интервалы от 200 до 400 и от 1000 до 1200 денежных единиц.

…Возможно, у вас возник вопрос, а как быть, если даны интервалы разной длины? В этом случае принимаем за «эталон» среднюю длину известных интервалов.

Для расчёта числовых характеристик перейдём к дискретному вариационному ряду, выбрав в качестве вариант  середины интервалов, которые здесь видны устно:

В тяжёлых случаях суммируем концы интервалов и делим их пополам, например: .

Кроме того, варианты целесообразно уменьшить в 1000 раз, поскольку в ходе дальнейших вычислений будут получаться гигантские числа. С современными вычислительными мощностями, это, конечно, не проблема, но смотреться будет некрасиво.

Сначала вычислим выборочную среднюю. Этот алгоритм уже обкатан: находим произведения , их сумму:

и по соответствующей формуле:
 тыс. д.е. или 780 д.е. – средний размер вклада.

Примечание: далее для компактной записи я буду использовать просто значок  – без переменной-«счётчика».

Теперь дисперсия. Её никто не запрещает рассчитать по определению , но заметьте, насколько легче формула  – для её применения всего-то лишь нужно рассчитать произведения  и их сумму  (правый столбец таблицы). Несмотря на то, что многие читатели уже освоили технику вычислений в Экселе, я продолжу записывать ролики – мало ли, кто что запамятовал:

Итак, по формуле вычисления дисперсии, получаем:
 тыс. д.е. в квадрате (т.к. по определению, дисперсия – есть величина квадратичная).

И, чтобы вернуться в размерность задачи, из дисперсии следует извлечь квадратный корень:
 тыс. д.е. или 240 денежных единиц. Полученный показатель называется

среднее квадратическое отклонение

Или стандартное отклонение. Оно обозначается греческой буквой «сигма», и коль скоро, у нас выборочная совокупность, то добавляем соответствующий подстрочный индекс:

 – выборочное среднее квадратическое отклонение.

Чем меньше стандартное отклонение (и дисперсия), тем меньше вариация – тем бОльшее количество вариант находится вблизи выборочной средней. Но у нас, как нетрудно «прикинуть на глазок», разброс довольно-таки велик – значительное количество вкладов расположено далековато от , и поэтому значение  получилось немалым.

Следующая часть задачи состоит в том, чтобы корректно оценить генеральную дисперсию  и генеральное среднее квадратическое отклонение .

В 1-й части урока я рассказал о том, что выборочная дисперсия  представляет собой смещённую оценку генеральной дисперсии. Это означает, что если мы будем проводить неоднократные выборки из той же генеральной совокупности, то полученные значения  будут систематически занижено оценивать . Обращаю ваше внимание, что это не значит, что  будет всегда меньше, чем .

И поэтому выборочную дисперсию, как намекает условие, нужно поправить:
 – исправленная выборочная дисперсия

и, соответственно:
 или 240,30 д.е. – исправленное среднее квадратическое отклонение.

 и  – это уже несмещённые оценки генеральной дисперсии  и генерального стандартного отклонения  соответственно.

Ввиду большого объёма выборки (более 100 вариант) этой поправкой можно пренебречь, но всё же мы не будем «разбрасываться» 30 «копейками».

Ответ: ; в качестве оценки соответствующих генеральных показателей принимаем  и .

Рассмотренные выше показатели (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, стандартное отклонение) входят в группу абсолютных показателей вариации, которые обладают рядом неудобств. Так, если в прорешанной задаче не уменьшать варианты в 1000 раз, то дисперсия получится в миллион раз больше! Да-да, не , а . И возникает естественное желание привести результаты к некому единому стандарту.

Для этого существуют показатели относительные, и самым известным из них является

коэффициент вариации

– это отношение стандартного отклонения к средней, выраженное в процентах:

И вот теперь совершенно без разницы, в д.е. мы считали:

или в тысячах д.е.:

Примечание: на практике часто считают именно через , но для оценки коэффициента вариации всей генеральной совокупности, конечно же, корректнее использовать исправленное стандартное отклонение .

В статистике существует следующий эмпирический ориентир:

– если показатель вариации составляет примерно 30% и меньше, то статистическая совокупность считается однородной. Это означает, что большинство вариант находится недалеко от средней, и найденное значение  хорошо характеризует центральную тенденцию совокупности.

– если показатель вариации составляет существенно больше 30%, то выборка неоднородна, то есть, значительное количество вариант находятся далеко от , и выборочная средняя плохо характеризует типичную варианту. В таких случаях целесообразно рассмотреть квартили, децили, а иногда и перцентили, которые делят вариационный ряд на части, и для каждого участка рассчитать свои показатели. Но это уже немного дебри статистики.

Другое преимущество относительных показателей – это возможность сравнивать разнородные статистические совокупности. Например, множество слонов и множество хомячков. Совершенно понятно, что дисперсия веса слонов по отношению к дисперсии веса хомяков будет просто конской, и их сопоставление не имеет смысла. Но вот анализ коэффициентов вариации веса вполне осмыслен, и может статься, что у слонов он составляет 10%, а у хомячков 40% (пример, конечно, условный). Это говорит о сбалансированном питании и размеренной жизни слонов. А вот хомяки там, то носятся с голодухи по полям, то отъедаются и спят в норах, и поэтому среди них есть много худощавых и много упитанных особей :)

Кроме коэффициента вариации, существуют и другие относительные показатели, но в реальных студенческих работах они почти не встречаются, и поэтому я не буду их рассматривать в рамках данного курса.

И сейчас, конечно же, задачки для самостоятельного решения:

Пример 17, на отработку терминов и формул:

а) Стандартное отклонение выборочной совокупности равно 5, а средний квадрат её вариант – 250. Найти выборочную среднюю.

б) Определите среднее квадратическое отклонение, если известно, что средняя равна 260, а коэффициент вариации составляет 30%.

и Пример 18, творческий:

Производство стальных труб на предприятии (тонн) в 1-м полугодии составило:

Определить:
– среднемесячный объем производства;
– среднее квадратическое отклонение;
– коэффициент вариации.

Сделать краткие содержательные выводы. – Да, это тоже типичный пункт статистической задачи!

Обратите внимание, что здесь не понятно, выборочной ли считать эту совокупность или генеральной. И в таких случаях лучше не заниматься домыслами, просто используем обозначения без подстрочных индексов.

Вообще, задачи на экономическую и промышленную тематику – самые популярные в статистике, и в моей коллекции их сотни. Но все они до ужаса однотипны, и поэтому я предлагаю их в терапевтической дозировке :)

Задание 8

Выполнить расчёты в Экселе – числа уже там, ну а инструкцию я на этот раз не привёл, поскольку люди вы уже опытные.

Краткое решение и ответ в конце урока, который подошёл к концу.

Следующее занятие не за горами, а уже за кочкой:

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Решения и ответы:

Пример 17. Решение:

а) Используем формулу . По условию, , . Таким образом:

б) Используем формулу . По условию, , . Таким образом:

Ответ: а) , б)

Пример 18. Решение: вычислим сумму вариант и сумму их квадратов:

Найдём среднюю:
 тонны – среднемесячный объем производства за полугодие.
Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение:
 тонн.
Коэффициент вариации:

Ответ:  тонны,  тонн,

Краткие выводы: за первое полугодие среднемесячный объём производства труб составил  тонны. Низкие показатели вариации говорят о стабильной ситуации на производстве.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2018. Копирование материалов сайта запрещено