Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену


  Карта сайта



Геометрическое распределение вероятностей


И геометрия тут не при чём. Это один из особых видов распределения дискретной случайной величины, которое получается в следующей ситуации:

Пусть проводится серия испытаний, в каждом из которых случайное событие  может появиться с вероятностью ; причём, испытания заканчиваются при первом же появлении данного события. Тогда случайная величина , характеризующая количество совершённых попыток, как раз и имеет геометрическое распределение.

Рассмотрим, например, такое событие:  – при подбрасывании монеты выпадет орёл.

Начинаем подбрасывать монету. Совершенно понятно, что вероятность появления орла в любом испытании равна , и наша задача заключается в том, чтобы проанализировать – как скоро появится первый орёл (после чего серия закончится). Составим закон распределения случайной величины  – количества проведённых бросков.

Если , то это означает, что орёл выпал в первой же попытке. Вероятность этого события равна:

Если , то в первой попытке выпала решка (вероятность ), а во второй – орёл. По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

Если , то в первых двух испытаниях появились решки, а в третьем – орёл. По той же теореме:

Если , то первый орёл появился лишь в четвёртом испытании:

…сколько же можно подбрасывать монету?  Теоретически – до бесконечности :)

И перед нами пример дискретной случайной величины, которая  принимает бесконечное и счётное количество значений. В общем виде её закон распределения записывается следующим образом:

Вероятности  представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом  и основанием . Отсюда и название – геометрическое распределение вероятностей. Как известно, сумма такой прогрессии равна:

, что полностью соответствует вероятностному смыслу задачи.

Однако жизнь такова, что всё когда-то заканчивается, и поэтому в практических задачах количество испытаний почти всегда ограничивается. На «грубую» такое распределение тоже можно считать геометрическим и сейчас мы разберём классический пример:

Задача

Стрелок производит несколько выстрелов в цель до первого попадания, имея всего 4 патрона. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание , дисперсию , где  – количество произведённых выстрелов. Построить многоугольник и функцию распределения данной случайной величины. Найти .

…если встретилось много непонятных слов, то начните со статьи Случайные величины.

Решение: по условию, вероятность попадания в каждом испытании равна . Тогда вероятность промаха: .

Составим закон распределения случайной величины :

1)  
Это означает, что стрелок попал с 1-й попытки и на этом испытания закончились:

2)  – в первом испытании промах, во втором – попадание. По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

3)  – попадание с третьей попытки:

И, наконец:

4)  

Здесь стрелок может промахнуться или попасть, но испытания заканчиваются в любом случае. Вместе с патронами. По теоремам умножения вероятностей зависимых и сложения несовместных событий:

Таким образом, искомый закон распределения:

Обязательно выполняем проверку:
, что и требовалось проверить.

Построим многоугольник распределения:

Вычислим  и . Для геометрического распределения существуют специальные формулы нахождения математического ожидания и дисперсии: , но нам ими воспользоваться не удастся – по той причине, что количество испытаний не бесконечно. Поэтому придётся использовать общий алгоритм. Заполним расчётную таблицу:

Математическое ожидание лежит готовенькое:   – это среднеожидаемое количество выстрелов (при многократном повторении таких серий из 4 выстрелов).

Дисперсию вычислим по формуле:
 – это мера рассеяния количества выстрелов относительно математического ожидания.

Очевидно, что чем ниже квалификация стрелка (значение ), тем больше будут эти значения. И, наоборот – с увеличением  матожидание приближается к единице, а дисперсия к нулю, ибо снайпер в подавляющем большинстве случаев выбивает цель с первой попытки да с малой погрешностью относительно «центра мишени».

Этот факт хорошо виден из теоретических формул для бесконечного количества выстрелов. Давайте, кстати, ради интереса вычислим:

Ну что же, значения нашей «реальной» задачи весьма близкИ к этим результатам.

Составим функцию распределения вероятностей:

Выполним чертёж:

Найдём  – вероятность того, что значение случайной величины отклонится от математического ожидания не более чем на .

Сначала вычислим среднее квадратическое отклонение:

затем – требуемую вероятность:

напоминаю, что на интервале  концентрируются «основные события», и поэтому такой высокий результат неудивителен.

Готово!

Но при всей кажущейся простоте, у этого задания существуют подводные камни. Главное коварство состоит в том, условие может быть сформулировано по такому же шаблону, но случайная величина быть ДРУГОЙ. Например:

 – количество промахов.

В этом случае закон распределения вероятностей примет следующий вид:

Здесь  – вероятность того, что будет 3 промаха (в 4-й попытке попадание);  – вероятность того, что стрелок совершит 4 промаха.

Естественно, что все числовые характеристики и содержательный выводы будут другими, однако сам закон распределения сохранит свой «геометрический» характер.

Вот ещё одна хитрая вариация, которая мне встречалась на практике:

 – количество неизрасходованных патронов.

Закон распределения этой величины таков:

Проанализируйте данный случай самостоятельно.

Кстати, в примере, который мы прорешали, случайную величину  можно эквивалентно сформулировать, как «количество израсходованных патронов».

Но и это ещё не всё – случайная величина может вообще иметь другой вид распределения!

Таким образом, к решению подобных задач нельзя подходить формально – во избежание ошибок, ВСЕГДА ДУМАЙТЕ ГОЛОВОЙ, анализируйте реалистичность полученных результатов. И тогда математическое ожидание  в разобранной задаче вас явно насторожит :)

Дополнительные примеры по теме, в том числе весьма творческие, можно найти в решебнике по теме. Далее рекомендую изучить биномиальное, пуассоновское и гипергеометрическое распределения вероятностей.

Желаю успехов!

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено