Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

10. Оценка генеральной средней и генеральной доли
по повторной и бесповторной выборке

Продолжаем тему статистических оценок, и сразу разбираемся в новых словах, которые следовало бы озвучить ещё на первом уроке :)

Повторная и бесповторная выборка. Что это значит? Слова говорят сами за себя:

– Если случайно отбираемые объекты не возвращаются в генеральную совокупность, то это бесповторная выборка. Если же выбранный объект возвращается обратно (перед выбором следующего), то это повторная выборка, т.е. здесь один и тот же попугай может быть выбран неоднократно.

И те и другие примеры уже встречались ранее, но, конечно, нам привычнее и понятнее бесповторный отбор. Вспоминаем основной метод статистики и Фёдора с помидорами. Совершенно понятно, что после случайного выбора помидора нет никакого смысла возвращать его обратно в коробку, более того, в этом даже есть вредный смысл – ибо овощ может попасться снова, что ухудшит репрезентативность выборки. Или исследование успеваемости студентов ВУЗа. Однозначно и лучше бесповторный отбор. Другой пример, это телефонный опрос, давайте под праздник: «Верите ли вы в Деда Мороза?», как вариант, анкетирование: «да / нет / по праздникам». Здесь тоже вредно спрашивать каждого респондента дважды :), и поэтому опрос проводится без повторов.

Но вот в иных случаях это полезно, например, при статистическом исследовании прогулов в университете. Очевидно, что один и тот же студент может попасть в выборку неоднократно, и было бы неправильно не учитывать его повторные прогулы. Или количество обращений в поликлинику – то же самое, один тот же человек может обратиться несколько раз. Другой распространённый пример – многократное измерение некоторой величины. Теоретически генеральная совокупность бесконечна, и из неё мы «выбираем» несколько значений, которые могут повторяться, причём, не только теоретически, но и практически, по причине округления измерений.

А теперь к теме. На данном уроке мы рассмотрим детализированную задачу о доверительном интервале генеральной средней и о доверительном интервале доли; последняя только что встретилась в предновогодней статье об оценке вероятности биномиального распределения (Пример 29). Детализация состоит в том, что построение доверительного интервала зависит от того, бесповторная была проведена выборка или повторная. Как и прежде, полагаем, что во всех нижеследующих задачах генеральная совокупность распределена нормально, либо её распределение близкО к таковому. Этот факт может быть известен и / или подкреплён статистическими методами.

Для опытных читателей мини-оглавление и быстрая ссылка:

Оценка генеральной средней (заголовок ниже)
Оценка генеральной доли

и для всех – большой и приятный путь:

Оценка генеральной средней

Итак, записываем: пусть из нормально распределенной (или около того) генеральной совокупности объёма  проведена выборка объёма  и по её результатам найдена выборочная средняя  и исправленная выборочная дисперсия .

Тогда доверительный интервал для оценки генеральной средней  имеет вид:
,  где  («дельта») – точность оценки, которую также называют предельной ошибкой репрезентативности выборки.

Точность оценки рассчитывается как произведение  – коэффициента доверия  на среднюю ошибку выборки («мю»).  Для бесповторной выборки она составляет , а для повторной: . В том случае, если изначально известна генеральная дисперсия , то используют, конечно, её.

Если объём выборки , то коэффициент доверия определяется с помощью распределения Стьюдента (см. также Пункт 11б для ). Если , то чаще пользуются соотношением , где  – функция Лапласа, а – доверительная вероятность. Если известна генеральная дисперсия, то второй вариант.

Значение «гамма» показывает, с какой вероятностью построенный интервал  накрывает истинное значение .

С конспектом отмучились, теперь задачи :) Есть у меня тут на выбор несколько штук: про вклады в банке, про токарей на заводе, …но, вот, пожалуй, самая зимняя – как говорится, у кого подснежники в марте, а у кого и подсолнухи в декабре:)

Пример 30

С целью изучения урожайности подсолнечника в колхозах области проведено 5%-ное выборочное обследование 100 га посевов, отобранных в случайном порядке, в результате которого получены следующие данные:

С вероятностью 0,9973 определить предельную ошибку выборки и возможные границы, в которых ожидается средняя урожайность подсолнечника в области.

Решение: в условии не указан тип отбора, но исходя из логики исследования, положим, что он бесповторный. Поскольку выборка 5%-ная, то она составляет 1/20-ю часть генеральной совокупности, стало быть, общая посевная площадь области составляет:
 гектаров – не знаю, насколько это реалистично, оставим этот вопрос на совести автора задачи.

По условию, требуется найти предельную ошибку выборки , где  – коэффициент доверия, соответствующий доверительной вероятности , и коль скоро выборка бесповторна и генеральной дисперсии мы не знаем, то средняя ошибка рассчитывается по формуле . Далее нужно найти интервал , который с вероятностью 99,73% накроет генеральную среднюю  урожайность подсолнечника по области.

И если с коэффициентом «тэ» трудностей никаких, то коэффициент «мю» здесь трудовой – по той причине, что нам не известна ни сама выборочная средняя, ни исправленная выборочная дисперсия. Ну что же, хороший повод освежить пройденный материал.

Смотрим на таблицу выше и приходим к выводу, что нам предложен интервальный вариационный ряд с открытыми крайними интервалами. Поскольку длина частичного интервала составляет  га, то вопрос закрываем так: 11-13 и 19-21 га.

Находим середины  интервалов (переходим к дискретному ряду), произведения  и их суммы:

С порядком заполнения таблицы и техникой вычислений можно ознакомиться на предыдущих уроках, даже кино на эту тему есть.

Вычислим выборочную среднюю:
 – центнеров с гектара.

Выборочную дисперсию вычислим по формуле:

Этим частенько пренебрегают, но я призываю поправлять дисперсию:
 – мелочь, а приятно.

И составляем доверительный интервал  для оценки генеральной средней урожайности подсолнечника по области.

Вычислим предельную ошибку .

Так как объём выборки , то коэффициент доверия ищем из соотношения  (но можно использовать и распределение Стьюдента). Поскольку , то:

По таблице значений функции Лапласа или с помощью Экселя (Пункт 5*), определяем, что этому значению функции соотвествует аргумент .

Вычислим среднюю ошибку бесповторной выборки:
 ц/га, таким образом, предельная ошибка составляет  ц/га, и искомый доверительный интервал:

 (ц/га) – границы, в которых ожидается средняя урожайность подсолнечника в области с вероятностью .

Кстати, такое «странное» значение вероятности не случайно, дело в том, что оно соотвествует правилу «трёх сигм», т.е., практически достоверным является тот факт, что построенный интервал накроет истинное значение  средней урожайности по области.

Ответ:  ц/га,  (ц/га)

Теперь распишем интервал в развёрнутом виде:

и проанализируем дробь . Очевидно, что при увеличении объёма выборки  эта дробь будут увеличиваться до единицы, и, соответственно, разность  будет уменьшаться до нуля. Таким образом, предельная ошибка  уменьшается, и доверительный интервал становится меньше, что вполне логично – ведь чем больше выборка, тем точнее оценка. И в предельном случае, когда мы исследовали всю генеральную совокупность , ошибка  становится нулевой и доверительный интервал вырождается в генеральную среднюю .

Исходя из вышесказанного, можно рассмотреть две обратные задачи:

1) Предположим, что нам хочется уменьшить доверительный интервал, например, в два раза, т.е. споловинить предельную ошибку до  ц/га (вместо 0,6). Но высокую доверительную вероятность и соответствующий коэффициент  мы сохранить хотим. Тогда ничего не остаётся, как увеличивать объём выборки. Из соотношения  выведем формулу для нахождения этого объёма, для этого возведём обе части в квадрат:
 и разрешим уравнение относительно :
, откуда следует:

Таким образом, для того чтобы с доверительной вероятностью  обеспечить точность , следует организовать выборку объёмом:

 гектара – округляем в бОльшую сторону, что составляет  генеральной совокупности. Таким образом, трудозатраты возросли примерно в 3,5 раза. Тоже логично.

И обращаю ОСОБОЕ внимание, что найденный ранее интервал  уменьшать в два раза НЕЛЬЗЯ: . Почему?  Потому что в новой выборке мы почти наверняка получим другое значение  и интервал  «сдвинется», да и точность будет выдержана лишь примерно (т.к. значение тоже изменится).

Примечание: некоторые читатели вполне справедливо замечают, что использовать исправленную выборочную дисперсию – не есть хорошо, но за неимением лучшего сойдёт и она. Полученные результаты, разумеется, менее точнЫ, по сравнению с теми, которые получились бы, если бы мы знали генеральную дисперсию.

2) Теперь обратная ситуация – когда оценка  нас устраивают, но нет возможности или времени проводить большую выборку. Да чего тут, исследовали  гектаров из , и нормально. В этом случае пострадает доверительная вероятность, давайте выясним насколько:

и с помощью расчётного макета (Пункт 10а) для количества степеней свободы   находим соответствующую доверительную вероятность:

, что, конечно, «на гране фола».

Впрочем, это было очевидно – ведь такая малая выборка явно не репрезентативна (плохо представляет генеральную совокупность).

Поэтому нужно найти возможность, время, желание и провести нормальное исследование :) А также решить следующую задачу:

Пример 31

По результатам 10%-ной бесповторной выборки объёма , найдены выборочная средняя  и дисперсия .

а) Найти пределы, за которые с доверительной вероятностью 0,954 не выйдет среднее значение генеральной совокупности.

б) Выборку примерно какого объёма нужно организовать, чтобы с той же доверительной вероятностью улучшить точность оценки в три раза?

В пункте «бэ» можно использовать готовую формулу (см. выше), хотя я и противник такого подхода, но во многих источниках предлагается именно она.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Если выборка повторная, то почти всё то же самое, с той поправкой, что средняя ошибка выборки определяется без множителя :
, таким образом, предельная ошибка составляет  и соответствующий доверительный интервал для оценки генеральной средней:
 – не что иное, как интервал, который был рассмотрен и неоднократно построен в 1-й части урока о статистических оценках.

Примечание: если известна дисперсия генеральной совокупности , то, разумеется, используется она.

Теперь поставим предельные ошибки рядом:

и проанализируем такой момент: при большом объёме  генеральной совокупности (которая может быть и бесконечной) и малом объёма выборки  грань между формулами стирается. По той причине, что дробь  стремится к нулю и разность  – к единице, в результате чего 1-я формула практически совпадает со 2-й, чем мы уже пользовались ранее. Вспомним, например, Пример 21:

“
Известно, что генеральная совокупность распределена нормально со средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания   с надежностью 0,95, если выборочная средняя , а объем выборки .
”

В условии не сказано, повторная ли проведена выборка или бесповторная, и не известен объём  генеральной совокупности. Поэтому ничего не остаётся, как допустить, что она очень великА и пользоваться формулой . В том решении мы получили  и доверительный интервал , который с вероятностью  накрывает неизвестное математическое ожидание . Кроме того, было прорешано ещё несколько похожих задач, но во всех из них остался за кадром анализ объёма выборки. И сейчас пришло время наверстать упущенное:

Пример 32

По данным Примера 21 () определить объём выборки, обеспечивающий точность  с вероятностью .

Да, вот так вот сурово :)

Но решение очень простое. Прежде всего, из формулы   выразим «эн», здесь это намного проще. Возведём обе части в квадрат:
 и порядок:

Доверительной вероятности  соответствует коэффициент  (из соотношения ).

Таким образом:
 – объём выборки, необходимый для обеспечения точности  с вероятностью .

Это означает, что доверительный интервал , где  – значение, найденное по выборке объёмом 900, практически достоверно накроет генеральную среднюю .

И ещё раз подчёркиваю, что значение  из Примера 21 использовать нельзя, ибо новая выборка – новая средняя. Но заметьте, что здесь известна генеральная дисперсия и поэтому точность будет выдержана строго.

Ответ:

Как видите, объём заметно возрос, и если вам хочется совсем крутой точности, скажем,  с той же вероятностью , то придётся выбрать уже:
объектов, после чего практически достоверно можно утверждать, что рассчитанное по этой выборке значение  будет отличаться от  менее чем на 0,1. Но тут нужно смотреть – будет ли такая большая выборка целесообразной.

И в заключение параграфа ещё один любопытный факт: если для бесповторной выборки ошибка  может строго равняться нуля (когда ), то для повторной выборки это не так:  – здесь она может лишь стремиться к нулю при , даже если объём генеральной совокупности конечен. Это обусловлено эффектом повторности – представьте, что из чёрного ящика наугад извлекаются некие предметы и возвращаются обратно. Мало того, что они будут учтены не одинаковое количество раз, так некоторые из них теоретически могут вообще не попадаться сколь угодно долго.

Оценка генеральной доли

Быстренько освежим в памяти, что такое доля. Пусть из генеральной совокупности объёма  вновь проведена выборка объёмом , и по её результатам требуется оценить генеральную долю объектов, обладающих некоторым количественным или качественным признаком.

Вспоминаем  помидоров на базе, среди которых  первосортных. Тогда отношение  является генеральной долей первосортных помидоров. Однако исследовать все овощи затруднительно, поэтому организуется представительная выборка из  помидоров, среди которых первосортных окажется  штук. Отношение  называется выборочной долей.

И наша задача состоит в том, чтобы по найденному значению  оценить истинную долю . Как оценить? С помощью доверительного интервала:
, где  – предельная ошибка доли.

Далее для удобства я буду опускать подстрочный индекс у выборочной доли: .

В том случае, если выборка достаточно велика ( порядка сотни и больше), а доля не слишком малА (по крайне мере, больше нескольких процентов), то предельная ошибка доли определяется как произведение , где  – коэффициент доверия, определяемый из того же соотношения  для заданного уровня доверительной вероятности, а  – средняя ошибка доли, которая определяется так:
 – для бесповторной выборки;
 – для повторной выборки.

В том случае, если генеральная совокупность велика, а выборка малА, то для бесповторной выборки можно использовать и 2-ю формулу, ибо дробь  будет близка к нулю.

Как видите, формулы очень похожи, только вместо дисперсии у нас тут произведение , и чего томиться, сразу задача:

Пример 33

В целях изучения суточного пробега автомобилей автотранспортного предприятия проведено 10%-ное выборочное обследование 100 автомобилей методом случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:

С вероятностью 0,954 требуется определить долю машин в генеральной совокупности с пробегом более 180 км.

Решение: вычислим количество автомобилей с пробегом более 180 км по выборке:
. Таким образом:
 – выборочная доля автомобилей с пробегом более 180 километров.

Генеральную долю  таких автомобилей оценим с помощью доверительного интервала:
, где  – предельная ошибка доли.

Для уровня доверительной вероятности  находим знакомый коэффициент доверия:

Следует отметить, что он не обязан быть целым, просто в задачах рассматриваемого типа почему-то любят предлагать нежные значения «гамма». Наверное, щадят студентов-экономистов, у которых эта задача – чуть ли не обязательная по предмету :) …а то таблицы Лапласа там всякие смотреть надо, жесть, короче :) А тут запомнил, и всё.

Вычислим среднюю ошибку доли. Коль скоро выборка 10%-ная, то объём генеральной совокупности равен  автомобилей и для бесповторной выборки:

Таким образом, предельная ошибка доли  и искомый доверительный интервал:

 – с вероятностью 95,4% данный интервал накрывает истинную генеральную долю  автомобилей с пробегом более 180 км.

Ответ:

Кстати, тут можно оценить и абсолютное количество таковых машин:

 – от 425 до 615 автомобилей.

Но результат, конечно, такой слабоватый. И помочь здесь может увеличение выборки.
Родственная формула уже выведена в предыдущем параграфе, и я просто заменю дисперсию произведением :
 – здесь по желаемой предельной ошибке можно вычислить необходимый объём выборки.

И прямо сейчас у вас представится такая возможность. На десерт:

Пример 34

Методом механического отбора проведено однопроцентное обследование веса пирожных, изготовленных кондитерской фабрикой за сутки. Распределение веса пирожных по весу следующее:

а) С вероятностью 0,9973 определить пределы, в которых будет находиться доля пирожных весом не менее 100 г, во всей суточной продукции

б) Сколько процентов пирожных нужно проверить, чтобы улучшить оценку в 7 раз? (при той же доверительной вероятности)

Краткое решение и ответ в конце урока. И в его заключение пара слов о повторной выборке. На самом деле такую задачу мы уже разобрали на уроке об оценке вероятности биномиального распределения (Пример 29). Цитирую условие:

“
Проверив  изделий, обнаружили, что  изделий выс­шего сорта. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0,01?
”

Заметьте, что в этой задаче ничего не сказано о типе выборки, но, судя по всему, она бесповторна. Однако размер генеральной совокупности не указан, и поэтому ничего не остаётся, как предположить, что изделий очень много и использовать формулу  повторной выборки.

С решением можно ознакомиться по ссылке выше (единственное, там буквы немного другие), ну а я ещё раз поздравляю всех с праздником – всем солнца, пирожных и автомобилей! И, конечно, хороших оценок ;)

Далее по курсу – Статистические гипотезы.

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено