Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Зависимые и независимые случайные величины.
Условные законы распределения и ковариация дискретных СВ

На первом уроке по теме уже фигурировали задачи с независимыми случайными величинами, и давайте сразу вспомним, что это значит: случайные величины являются независимыми, если закон распределения вероятностей любой из них, не зависит от того, какие значения приняли (или примут) остальные случайные величины.

Например, система  двух игральных кубиков – совершенно понятно, что результат броска одного кубика никак не влияет на вероятности выпадения граней другого кубика. Или одинаковые независимо работающие игровые автоматы. И, наверное, у некоторых сложилось впечатление, что независимы вообще любые СВ. Однако это далеко не всегда так.

Рассмотрим одновременное сбрасывание двух кубиков-магнитов, у которых северные полюса находятся на стороне 1-очковой грани и южные – на противоположной грани в 6 очков. Будут ли независимыми аналогичные случайные величины? Да, будут. Просто снизятся вероятности выпадения «1» и «6» и увеличатся шансы других граней, т.к. в результате испытания кубики могут притянуться противоположными полюсами.

Теперь рассмотрим систему , в которой кубики сбрасываются последовательно:

 – количество очков, выпавших на первом кубике;

 – количество очков, выпавших на втором кубике, при условии, что он всё время сбрасывается по правую (например) сторону от 1-го кубика.

В этом случае закон распределения случайной величины  зависит от того, как расположился 1-й кубик. Вторая кость может либо притянуться, либо наоборот – отскочить (если «встретились» одноимённые полюса), либо частично или полностью проигнорировать 1-й кубик.

Второй пример: предположим, что  одинаковых игровых автоматов объединены в единую сеть, и  – есть система случайных величин - выигрышей на соответствующих автоматах. Не знаю, законна ли эта схема, но владелец игрового зала вполне может настроить сеть следующим образом: при выпадении крупного выигрыша на каком-либо автомате, автоматически меняются законы распределения выигрышей вообще на всех автоматах. В частности, целесообразно на некоторое время обнулить вероятности крупных выигрышей, чтобы заведение не столкнулось с нехваткой средств (в том случае, если вдруг кто-то выиграет по-крупному ещё раз). Таким образом, рассмотренная система будет зависима.

То были примеры с дискретными случайными величинами. Но, разумеется, существуют и дву- и большемерные непрерывные случайные величины. Пример третий, баян:

 – рост наугад выбранного человека;

 – его вес.

И для наглядности представим две группы людей: ростом 160 и 190 см. Совершенно понятно, что во 2-й  группе окажутся преимущественно более тяжелые люди, нежели в 1-й. То есть, распределение случайной величины  зависит от того, какое значение приняла случайная величина , и поэтому система  зависима. В отличие от жёсткой функциональной зависимости (а-ля ) здесь имеет место вероятностная, или как говорят, стохастическая зависимость. Это проявляется в том, что, выбрав наугад человека невысокого (например) роста, более вероятно столкнуться со «стандартным» весом таких людей, но всё же существует вероятность, что у него окажется очень большой либо очень маленький вес для своей «ростовой категории».

Как составить закон распределения системы зависимых СВ? Для независимых дискретных систем мы использовали теорему умножения вероятностей независимых событий, и Капитан Очевидность подсказывает, что сейчас нужно применить аналогичную теорему для зависимых событий.

В качестве демонстрационного примера рассмотрим колоду из 8 карт, пусть это будут короли и дамы, и простую игру, в которой два игрока последовательно (не важно, в каком порядке) извлекают из колоды по одной карте. Рассмотрим случайную величину , которая символизирует одного игрока и принимает следующие значения:  1, если он извлёк червовую карту, и 0 – если карту другой масти.

Аналогично, пусть случайная величина  символизирует другого игрока и тоже принимает значения 0 либо 1, если он извлёк не черву и черву соответственно.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

 – вероятность того, что оба игрока извлекут черву,

 – вероятность того, что оба извлекут не черву, и:

 – вероятность того, что один извлечёт черву, а другой – нет; ну или наоборот:

Таким образом, закон распределения вероятностей зависимой системы :

Для непрерывных случайных величин вводятся такие же понятия условных распределений и матожиданий, но если в них нет горячей надобности, то лучше продолжить изучение этого урока.

На практике в большинстве случаев вам предложат готовый закон распределения системы случайных величин:

Пример 4

Двумерная случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:

Способ второй, более простой и распространённый. По формуле:

Матожидание произведения СВ определяется как  и технически всё очень просто: берём исходную таблицу задачи и находим все возможные произведения  на соответствующие вероятности ; на рисунке ниже я выделил красным цветом произведение  и синим произведение :

Сначала перечислю все произведения со значением , затем – со значением , но вы, разумеется, можете использовать и другой порядок перебора – кому как удобнее:

Значения  уже вычислены (см. 1-й способ), и осталось применить формулу:

Как отмечалось выше, ненулевое значение ковариации говорит нам о зависимости случайных величин, причём, чем оно больше по модулю, тем эта зависимость ближе к функциональной линейной зависимости . Ибо  определяется через линейные отклонения.

Таким образом, определение можно сформулировать точнее:

Ковариация – это мера линейной зависимости случайных величин.

С нулевым значением всё занятнее. Если установлено, что , то случайные величины могут оказаться как независимыми, так и зависимыми (т.к. зависимость может носить не только линейный характер). Таким образом, этот факт в общем случае нельзя использовать для обоснования независимости СВ!

Однако, если известно, что  независимы, то . В этом легко убедиться аналитически: так как для независимых случайных величин справедливо свойство  (см. предыдущий урок), то по формуле вычисления ковариации:

Какие значения может принимать этот коэффициент? Коэффициент ковариации принимает значения, не превосходящие по модулю  – и чем больше , тем сильнее выражена линейная зависимость. И всё вроде бы хорошо, но есть существенное неудобство такой меры:

Предположим, мы исследуем двумерную непрерывную случайную величину   (готовимся морально :)), компоненты которой измеряются в сантиметрах, и получили значение . Кстати, какая размерность у ковариации? Коль скоро,  – сантиметры, и  – тоже сантиметры, то их произведение и матожидание этого произведения  – выражается в квадратных сантиметрах, т.е. ковариация, как и дисперсия – есть квадратичная величина.

Теперь предположим, что кто-то изучил ту же систему , но использовал не сантиметры, а миллиметры. Так как 1 см = 10 мм, то ковариация увеличится в 100 раз и будет равна !

Поэтому удобно рассмотреть нормированный коэффициент ковариации, который давал бы нам одинаковое и безразмерное значение. Такой коэффициент получил название, продолжаем нашу  задачу:

3) Коэффициент корреляции. Или, точнее, коэффициент линейной корреляции:

, где  – стандартные отклонения случайных величин.

Коэффициент корреляции безразмерен и принимает значения из промежутка:

 (если у вас на практике получилось другое – ищите ошибку).

Чем  больше  по модулю к единице, тем теснее линейная взаимосвязь между величинами , и чем ближе  к нулю – тем такая зависимость выражена меньше. Взаимосвязь считается существенной, начиная примерно с . Крайним значениям   соответствует строгая функциональная зависимость , но на практике, конечно, «идеальных» случаев не встретить.

Очень хочется привести много интересных примеров, но корреляция более актуальна в курсе математической статистики, и поэтому я приберегу их на будущее. Ну а сейчас найдём коэффициент корреляции в нашей задаче. Так. Законы распределения  уже известны, скопирую сверху:

Матожидания найдены: , и осталось вычислить стандартные отклонения. Табличкой уж оформлять не буду, быстрее подсчитать строкой:

Ковариация найдена в предыдущем пункте , и осталось рассчитать коэффициент корреляции:
, таким образом, между величинами  имеет место  линейная зависимость средней тесноты.

Четвёртое задание опять же более характерно для задач математической статистики, но на всякий случай рассмотрим его и здесь:

4) Составить уравнение линейной регрессии  на .

Уравнение линейной регрессии – это функция , которая наилучшим образом приближает значения случайной величины . Для наилучшего приближения, как правило, используют метод наименьших квадратов, и тогда коэффициенты регрессии можно вычислить по формулам:
, вот это чудеса, и 2-й коэффициент:

Таким образом, искомое уравнение регрессии:

ну и давайте ради исследовательского интереса я скопирую табличку сверху:

и вычислю значения функции:
 – в результате получился результат, который близок к наиболее вероятному (см. 2-ю снизу строку) значению ;
 – тоже неплохо, это приближение попало между наиболее вероятными (см. нижнюю строку)  значениями

Вполне и вполне приличные результаты, несмотря на невысокий коэффициент корреляции. И, наверное, вы уже догадались, что чем ближе  по модулю к единице, тем точнее функция  приближает наиболее вероятные значения случайной величины . Но уравнение линейной регрессии, конечно, больше применимо к двумерной непрерывной случайной величине, поскольку позволяет осуществлять реальное прогнозирование, например, наиболее вероятного веса человека по заданному росту.

Творческое задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить коэффициенты ковариации и корреляции для демонстрационного примера данного урока (с картами червовой масти) и оценить тесноту линейной связи между СВ.

после чего с нетерпением переходим к системам непрерывных случайных величин.

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено