Монотонные и немонотонные последовательности

И сразу определение:

монотонная числовая последовательность – это последовательность с постоянством неубывания либо невозрастания всех её членов, или в более строгом варианте, роста либо убывания.

Последовательность называют возрастающей, если каждый её член больше предыдущего:
 

Строго так. Без исключений. Это, например, последовательность самих натуральных чисел, чётных либо нечётных чисел, арифметическая прогрессия  с положительным шагом , конкретный пример уже был:

Аналогично, последовательность убывающая, если каждый её член меньше предыдущего:

Например:

И общие варианты:
 – неубывающая последовательность, при этом достаточно, чтобы в «цепочке»  было даже одно нестрогое равенство.

Так, последовательность чисел Фибоначчи   неубывающая.

И, наконец, невозрастающая последовательность:
 – с хотя бы одним нестрогим неравенством. Интересный пример будет в конце.

Во всех четырёх случаях последовательность называют монотонной, в первых двух, окромя того, строго монотонной.

Последовательность  одинаковых чисел – монотонна, её можно считать невозрастающей или неубывающей. Но есть умное слово, стационарная.

Ну и, конечно, существует куча немонотонных последовательностей, причём среди них есть свои разновидности.

Во-первых, это последовательности, где монотонность присутствует, но начинается не сразу, например:

Здесь сначала последовательность подросла, а с 3-го члена начала монотонно убывать. Строгая монотонность «хвоста», к слову, подлежит отдельному обоснованию.

Во-вторых, есть последовательности немонотонные:

однако монотонны соответствующие последовательности модулей членов:

Аналогичная история с последовательностью  и .

 «Мигалка»  немонотонна и иногда говорят, это колеблющаяся последовательность. Она в этом смысле не уникальна:

, где «цэ» произвольное действительное число.

Кроме того, существуют более сложные схемы «колебаний», например:
 или, их даже точнее будет называть периодическими последовательностями.

Желающие могут записать члены этих последовательности аналитически, с помощью системы, тригонометрическая таблица в помощь, и, само собой, учитываем периодичность синуса и косинуса.

В качество примера «грубой» немонотонности можно привести следующий:

А вот более интересная ситуация:

Члены данной последовательности, очевидно, уменьшаются и приближаются к нулю, но происходит это немонотонно, с постоянными «подпрыгиваниями».

Как определить монотонность последовательности?

В простых случаях монотонность / немонотонность виднА невооружённым глазом, но этого явно не достаточно, ибо есть случаи тяжёлые. А посему вооружимся парочкой инструментов.

Если каждый следующий член последовательности больше предыдущего , то их разности будут положительны , и это признак того, что последовательность возрастает. Аналогично, если для всех «эн»:

, то последовательность убывает;
, то последовательность неубывает;
, то последовательность невозрастает.

Проведём формальную проверку некоторых очевидных примеров.

Покажем, что последовательность  положительных нечётных чисел возрастает. Для этого запишем «эн плюс первый» член:  и составим разность соседних членов:
 – для всех значений , поэтому последовательность возрастает.

Для последовательности  запишем  и найдём разность:
 – для всех номеров «эн». Это означает, что каждый следующий член данной последовательности меньше предыдущего, то есть последовательность убывает.

Однако в ряде случаев данный приём помогает мало, так, если мы составим разность  для последовательности , то ясности это не добавит. А ведь «чайник», скорее всего, будет сомневаться, как ведёт себя подобная последовательность.

Но к счастью есть другой, менее известный и весьма эффективный признак:

если последовательность  состоит из положительных членов и частное двух соседних членов  для всех номеров «эн», то последовательность возрастает. Если , то убывает. И соответственно для неубывающей и невозрастающей последовательности неравенства таковы: .

Итак, исследуем на монотонность последовательность . Запишем  и составим отношение последующего члена к предыдущему, после чего избавимся от четырёхэтажности дроби и упростим результат:

Теперь нужно оценить это отношение. Очевидно, что при  оно будет больше единицы, но при достаточно малых «эн» – меньше. Таким образом, последовательность немонотонна. Однако, начиная с некоторого значения , последовательность становится убывающей. Выясним этот номер, решив соответствующее неравенство:

преобразования тут прозрачны:

осталось поднять «эн» наверх правой части, разность сбросить налево вниз
 и переписать неравенство в привычном направлении:

Таким образом, неравенство  выполняется с номера , и последовательность начинает убывать, что мы прикинули «на глазок» ранее:

Теперь это утверждение обосновано строго.

И, конечно же, примеры для самостоятельного решения.

Задание:

Доказать, что:

а) последовательность  немонотонна;

б) арифметическая прогрессия  с отрицательным шагом  убывает.

в) геометрическая прогрессия  с основанием  возрастает.

…Да, задачки несложные, но корректно ли вы оформите решения? ;)

Исследовать последовательности на монотонность, строго аналитически:

г) ;

д) , напоминаю, что ;

е) .

…Достаточно. Свериться можно ниже, постарайтесь не заглядывать в образец! – чтобы не убивать интригу.

Задание. Решение:

Автор: Емелин Александр

...Продолжение следует...

Ограниченные и неограниченные последовательности

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу сайта)