Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену


  Карта сайта



Как вычислить длину дуги кривой?


Помимо нахождения площади и объёма тела вращения, вездесущий определённый интеграл позволяет рассчитать и другие показатели, в частности длину дуги кривой.
И в данной статье мы узнаем, как вычислить данную величину, если линия задана функцией , либо параметрически , или же уравнением  в полярной системе координат. Для каждого случая будут разобраны практические примеры с подробными комментариями о типичных особенностях решения этой задачи. Более того, по ходу изложения материала вас ждёт специальное предложение, которое должно понравиться ;-)

Пусть некоторая функция  непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой :
Дуга кривой
В предположение о непрерывности производной  на , длина кривой  выражается формулой:

 или компактнее:

Согласно геометрическому смыслу, длина не может быть отрицательной, и это заведомо гарантируется неотрицательностью подынтегральной функции  (при разумеющемся условии ). Таким образом, в данной задаче не возникает дополнительных хлопот по поводу того, как и где «петляет» график (выше оси, ниже оси и т.д.).

Другой хорошей новостью является тот факт, что в практических примерах, как правило, не нужно строить чертежа. Это была единственная иллюстрация в статье, чтобы вы быстрее поняли, о чём вообще идёт речь. Впрочем, начнём с кривой, которую всем вбили в голову ещё в далёком детстве =)

Пример 1

Вычислить длину дуги параболы  от точки  до точки

Решение: принимая во внимание «иксовые» координаты точек, определяем пределы интегрирования  и используем формулу:



А вот и первый камень преткновения. Интеграл данного вида детально разобран в Примере №5 урока Сложные интегралы, он интегрируется по частям и сводится к себе. Сначала удобно найти первообразную:

Интегрируем по частям:


Таким образом:

Открываем одиночной «звёздочкой» основное решение и используем формулу Ньютона-Лейбница:

Ответ:

Скрупулёзно не проверял, но если взглянуть на параболу, то очень и очень похоже на правду. Громоздких и страшных результатов бояться не нужно, рАвно, как и длинных решений!

Следующие разминочные задачи для самостоятельного решения

Пример 2

Вычислить длину дуги полукубической параболы  от точки  до точки

Интеграл здесь будет значительно проще, чем в предыдущем примере. Однако за кажущейся простотой нередко скрывается коварство. Так, вроде бы похожее условие «Вычислить длину дуги полукубической параболы  на промежутке » далеко не эквивалентно и приводит к совершенно другому ответу.

Да, в рассматриваемом типе задач обычно не требуется выполнять чертёж, но всегда полезно, а иногда и очень важно знать, что это за линия и КАК выглядит её график ;-)

Пример 3

Вычислить длину дуги кривой ,

Это более распространённый вариант формулировки – когда промежуток интегрирования указан в виде двойного неравенства.

А что тут смущает? Люди без комплексов давно интегрируют по любой переменной, и я ещё в статье Объем тела вращения предлагал вам расширить свои взгляды =)

Обратная функция  и её производная  непрерывны на отрезке , поэтому применима зеркальная формула , где  и , естественно, уже «игрековые» пределы интегрирования.

Кстати, в первом примере можно рассмотреть правую ветвь параболы  с пределами интегрирования , правда, хрен редьки не слаще. Хотя любители оценят, интеграл получается трудный, но вполне реалистичный.

В следующем параграфе рассмотрим критически важную вещь, касающуюся всех задач урока:


Как найти длину дуги кривой, если линия задана параметрически?

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах  , рассчитывается по формуле:

, где  – значения, определяющие точки  и .

В начале урока о площади и объёме при линиях, заданных параметрически, я обратил ваше внимание на тот факт, что параметрические уравнения могут «прорисовывать» кривую  как слева направо, так и справа налево, из-за чего во втором случае «вылезает минус» и возникают небольшие технические затруднения. В рассматриваемой задаче мы от этого избавлены! Так как подынтегральная функция, как и в первом пункте, неотрицательна , то заранее можно утверждать, что результата со знаком «минус» получиться не должно (понятно, при условии ).

Однако вместо «вопроса прорисовки дуги» у нас появляется другая почётная обязанность – беречь неотрицательность подынтегральной функции, как зеницу ока:

Пример 4

Вычислить длину дуги кривой

Решение: аналитические условия задают левую верхнюю дугу астроиды. Причём параметрические уравнения «прорисовывают» эту кривую справа налево, но, как я только что отметил, сейчас нас это не волнует, и асфальтный каток едет дальше.

Используем формулу .

Сначала найдём производные:

и упростим сумму их квадратов:

Это оптимальная во многих случаях техника решения, позволяющая не «таскать за собой» значки корня и интеграла с пределами интегрирования. Тем самым минимизируется риск что-нибудь потерять в громоздкой записи.

Гораздо удобнее «зарядить» в формулу готовую сумму:

А вот теперь самый важный момент. Здесь нельзя «машинально» избавляться от корня и необходимо придерживаться следующего правила:

, если функция  на промежутке ,
или , если  на данном промежутке.

Эта «развилка» сохраняет неотрицательность подынтегральной функции, что соответствует геометрическому смыслу задачи.

На отрезке , следовательно, их произведение неположительное:  и поэтому

Не понимаете, почему ? Посмотрите на их графики.

Продолжаем, а точнее, заканчиваем решение:

Ответ:

Приятно, когда знаешь график функции, но вдвойне приятнее, когда можно эффективно проверить или даже заранее узнать ответ. Длина астроиды  равна . В нашей задаче  и мы рассчитали длину «четвертинки»:

, что и требовалось проверить.

Тренируемся самостоятельно:

Пример 5

Вычислить длину дуги кривой с точностью до двух знаков после запятой

Примерный образец оформления задачи и в конце урока.

Продолжаем динамично закатывать асфальт:


Как найти длину дуги кривой, если линия задана в полярной системе координат?

Пусть кривая  задана в полярных координатах уравнением , где , и при этом значение  определяет точку , а значение  – точку . Если на промежутке  функция  имеет непрерывную производную , то длина кривой  выражается следующей формулой:

Условие  логично и незыблемо. Это третья, похожая на предыдущую формула, которую мы незамедлительно оприходуем:

Пример 6

Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат
,

Порядок и принципы решения точно такие же.

Используем формулу .

Найдём производную по «фи»:

Составим и максимально упростим подкоренное выражение:

Заливаем топливо:

…мда, презабавно, всё время понижали-понижали степень, а теперь её надо повысить. Используем формулу двойного угла  и основное тригонометрическое тождество , выцыганив тем самым заветный квадрат:

Теперь нужно разобраться с функцией  на отрезке , чтобы правильно избавиться от корня. Я мысленно представляю график и вижу, что функция здесь положительна, но это очевидно далеко не всем, и в этой ситуации можно использовать нечто похожее на метод интервалов. Вычислим значение функции в какой-нибудь промежуточной точке, например, посерединке в точке :

, а значит,  и в любой точке интервала . К слову, и на концах тоже.
Примечание: строго говоря, надо ещё добавить, что уравнение  не имеет корней на данном интервале.

Таким образом, вынесение из-под корня проходит без всяких последствий. …Не хотел вам рассказывать об одном нехорошем методе решения, но таки поделюсь – всё равно догадаетесь, по себе знаю =) На черновике считаем  интеграл  и если получился отрицательный результат, то на чистовике ставим перед интегралом «минус». И никаких запарок с рассуждениями.

Ответ:

Я решил эту задачу много лет назад именно таким способом, и недавно, подбирая примеры к уроку, нашёл, пожалуй, более симпатичное решение, идея которого состоит в использовании формулы приведения  и дальнейшего повышения степени по избитой формуле . Там получился ответ в другом виде, но численно результаты совпадают. Такое тоже бывает.

Затем я углубился в решебник и нашёл ещё много чего знакомого =) Такое впечатление, что сборник Кузнецова – очень популярный поставщик задач по приложениям определённого интеграла в контрольные работы. И здесь вы можете найти порядка сотни прорешанных примеров, велика вероятность, что найдётся и ваш.

Успокоительная миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7

Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат
,

Хочется сказать ещё что-нибудь ласковое, но, к  сожалению, я тороплюсь, сегодня пятница и мне тоже хочется погулять =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: пределы интегрирования: . Из условия следует, что требуется вычислить длину дуги верхней ветви .
Найдём производную: .
По формуле:

Ответ:

Пример 3: Решение: найдём производную:

Таким образом:
(1) Используем тригонометрическую формулу
(2) При вынесении из-под корня необходимо, чтобы подынтегральная функция осталась положительной:. Так как  на отрезке интегрирования, то: .
(3) Данный интеграл разобран в Примере 18 статьи Сложные интегралы.
Ответ:

Пример 5: Решение: используем формулу .
Найдём производные:

Таким образом:

Примечание:  при любом значении .
Ответ:

Пример 7: Решение: используем формулу:

Ответ:

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено