Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Книги по математике
Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать несобственный
интеграл на сходимость?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ


По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Онлайн курсы для всех!



  Карта сайта



3. Интервальный вариационный ряд.
Гистограмма относительных частот


На предыдущем уроке по математической статистике (Занятие 1) мы разобрали дискретный вариационный ряд (Занятие 2), и сейчас на очереди интервальный. Его понятие, графическое представление (гистограмма и эмпирическая функция распределения), а также рациональные методы вычислений, как ручные, так и программные. В том числе будут рассмотрены задачи с достаточно большим количеством (100-200) вариант – что делать в таких случаях, как обработать большой массив данных. 

Предпосылкой построения интервального вариационного ряда (ИВР) является тот факт, что исследуемая величина принимает слишком много различных значений. Зачастую ИВР появляется в результате измерения непрерывной характеристики изучаемых объектов. Типично – это время, масса, размеры и другие физические характеристики. Подходящие примеры встретились в первой же статье по матстату, вспоминаем Константина, который замерял время на лабораторной работе и Фёдора, который взвешивал помидоры.

Для изучения интервального вариационного ряда затруднительно либо невозможно применить тот же подход, что и для дискретного ряда. Это связано с тем, что ВСЕ варианты многих ИВР различны. И даже если встречаются совпадающие значения, например, 50 грамм и 50 грамм, то связано это с округлением, ибо полученные значения всё равно отличаются хоть какими-то микрограммами.

Поэтому для исследования ИВР используется другой подход, а именно, определяется интервал, в пределах которого варьируются значения, затем данный интервал делится на частичные интервалы, и по каждому интервалу подсчитываются частоты – количество вариант, которые в него попали.

Разберём всю кухню на конкретной задаче, и чтобы как-то разнообразить физику, я приведу пример с экономическим содержанием, кои десятками предлагают студентам экономических отделений. Деньги, строго говоря, дискретны, но если надо, непрерывны :), и по причине слишком большого разброса цен, для них целесообразно строить интервальный ряд:

Пример 6

По результатам исследования цены некоторого товара в различных торговых точках города, получены следующие данные (в некоторых денежных единицах):

Требуется составить вариационный ряд распределения, построить гистограмму и полигон относительных частот + бонус – эмпирическую функцию распределения.

Такое обывательское исследование проводит каждый из нас, начиная с анализа цены на пакет молока вот это дожил в нескольких магазинах, и заканчивая ценами на недвижимость по гораздо бОльшей выборке. Что называется, не какие-то там унылые сантиметры.

Поэтому представьте свой любимый товар / услугу и наслаждайтесь решением:)

Очевидно, что перед нами выборочная совокупность объемом  наблюдений (таблица 10*3), и вопрос номер один: какой ряд составлять – дискретный или интервальный? Смотрим на таблицу: среди предложенных цен есть одинаковые, но их разброс довольно велик, и поэтому здесь целесообразно провести интервальное разбиение. К тому же цены могут быть округлёнными.

Начнём с экстремальной ситуации, когда у вас под рукой нет Экселя или другого подходящего программного обеспечения. Только ручка, карандаш, тетрадь и калькулятор.

Тактика действий похожа на исследование дискретного вариационного ряда. Сначала окидываем взглядом предложенные числа и определяем примерный интервал, в который вписываются эти значения. «Навскидку» все значения заключены в пределах от 5 до 11. Далее делим этот интервал на удобные подынтервалы, в данном случае напрашиваются промежутки единичной длины. Записываем их на черновик:

Теперь начинаем вычёркивать числа из исходного списка и записывать их в соответствующие колонки нашей импровизированной таблицы:

После этого находим самое маленькое число в левой колонке и самое большое значение – в правой. Тут даже ничего искать не пришлось, честное слово, не нарочно получилось:)
  ден. ед. – хорошим тоном считается указывать размерность.

Вычислим размах вариации:
 ден. ед. – длина общего интервала, в пределах которого варьируется цена.

Теперь его нужно разбить на частичные интервалы. Сколько интервалов рассмотреть? По умолчанию на этот счёт существует формула Стерджеса

, где  – десятичный логарифм* от объёма выборки и  – оптимальное количество интервалов, при этом результат округляют до ближайшего левого целого значения.

* есть на любом более или менее приличном калькуляторе

В нашем случае получаем:
 интервалов.

Следует отметить, что правило Стерджеса носит рекомендательный, но не обязательный характер. Нередко в условии задачи прямо сказано, на какое количество интервалов нужно проводить разбиение (на 4, 5, 6, 10 и т.д.), и тогда следует придерживаться именно этого указания.

Длины частичных интервалов могут быть различны, но в большинстве случаев использует равноинтервальную группировку:
 – длина частичного интервала. В принципе, здесь можно было не округлять и использовать длину 0,96, но удобнее, ясен день, 1.

И коль скоро мы прибавили 0,04, то по 5 частичным интервалам у нас получается «перебор»: . Посему от самой малой варианты  отмеряем влево 0,1 влево (половину «перебора») и к значению 5,7 начинаем прибавлять по , получая тем самым частичные интервалы. При этом сразу рассчитываем их середины  (например, ) – они требуются почти во всех тематических задачах:

– убеждаемся в том, что самая большая варианта  вписалась в последний частичный интервал и отстоит от его правого конца на 0,1.

Далее подсчитываем частоты по каждому интервалу. Для этого в черновой «таблице» обводим значения, попавшие в тот или иной интервал, подсчитываем их количество и вычёркиваем:

Так, значения из 1-го интервала я обвёл овалами (7 штук) и вычеркнул, значения из 2-го интервала – прямоугольниками (11 штук) и вычеркнул и так далее.

Правило: если варианта попадает на «стык» интервалов, то её следует относить в правый интервал. У нас такая варианта встретилась одна:  – и её нужно причислить к интервалу .

В результате получаем интервальный вариационный ряд, при этом обязательно убеждаемся в том, что ничего не потеряно: , и, кроме того, рассчитываем относительные частоты  по каждому интервалу, которые уместно округлить до двух знаков после запятой:

Дело за чертежами. Для ИВР чаще всего требуется построить гистограмму.

Гистограмма относительных частот – это фигура, состоящая из прямоугольников, ширина которых равна длинам частичных интервалов, а высота – соответствующим относительным частотам:

При этом вполне допустимо использовать нестандартную шкалу по оси абсцисс, в данном случае я начал нумерацию с четырёх.

Площадь гистограммы равна единице, и это статистический аналог функции плотности распределения непрерывной случайной величины. Построенный чертёж даёт наглядное и весьма точное представление о распределении цен на ботинки по всей генеральной совокупности. Но это при условии, что выборка представительна.

Вместе с гистограммой нередко требуют построить полигон. Без проблем, полигон относительных частот – это ломаная, соединяющая соседние точки , где  – середины интервалов:

Большим достоинством приведённого решения является тот факт, что многие вычисления здесь устные, а если вы помните, как делить «столбиком», то можно обойтись даже без калькулятора. Вот она где притаилась, смерть Терминатора :) ;)

Автоматизируем решение в Экселе:

  Как составить ИВР и представить его графически? (Ютуб)

И бонус – эмпирическая функция распределения. Она определяется точно так же, как в дискретном случае:

, где  – количество вариант СТРОГО МЕНЬШИХ, чем «икс», который «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности.

Но вот построить её для интервального ряда намного проще. Находим накопленные относительные частоты:

И строим кусочно-ломаную линию, с промежуточными точками , где  – правые концы интервалов, а  – относительная частота, которая успела накопиться на всех «пройденных» интервалах:

При этом  если  и  если .

Напоминаю, что данная функция не убывает, принимает значения из промежутка  и, кроме того, для ИВР она ещё и непрерывна.

Эмпирическая функция распределения является аналогом функции распределения НСВ и приближает теоретическую функцию , которую теоретически, а иногда и практически можно построить по всей генеральной совокупности.

Помимо перечисленных графиков, вариационные ряды также можно представить с помощью кумуляты и огивы частот либо относительных частот, но в классическом учебном курсе эта дичь редкая, и поэтому о ней буквально пару абзацев:

Кумулята – это ломаная, соединяющая точки:

* либо  – для дискретного вариационного ряда;
 либо  – для интервального вариационного ряда.

*  – накопленные «обычные» частоты

В последнем случае кумулята относительных частот  представляет собой «главный кусок» недавно построенной эмпирической функции распределения.

Огива – это обратная функция по отношению к кумуляте – здесь варианты откладываются по оси ординат, а накопленные частоты либо относительные частоты – по оси абсцисс.

С построением данных линий, думаю, проблем быть не должно, чего не скажешь о другой проблеме. Хорошо, если в вашей задаче всего лишь 20-30-50 вариант, но что делать, если их 100-200 и больше? В моей практике встречались десятки таких задач, и ручной подсчёт здесь уже не торт. Считаю нужным снять небольшое видео:

  Как быстро составить ИВР при большом объёме выборки? (Ютуб)

Ну, теперь вы монстры 8-го уровня :)

Но не всё так сурово. В большинстве задач вам предложат готовый вариационный ряд, и на счёт молока, то, конечно, была шутка:

Пример 7

Выборочная проверка партии чая, поступившего в торговую сеть, дала следующие результаты:

Требуется построить гистограмму и полигон относительных частот, эмпирическую функцию распределения

Задание 3

Проверяем свои навыки работы в Экселе! (исходные числа и краткая инструкция прилагается) И на всякий случай краткое решение для сверки в конце урока.

Что ещё важного по теме? Время от времени встречаются ИВР с открытыми крайними интервалами, например:

В таких случаях, что убийственно логично, интервалы «закрывают». Обычно поступают так: сначала смотрим на средние интервалы и выясняем длину частичного интервала:  км. И для дальнейшего решения можно считать, что крайние интервалы имеют такую же длину: от 140 до 160 и от 200 до 220 км. Тоже логично. Но уже не убийственно:)

Ну вот, пожалуй, и вся практически важная информация по ИВР.

На очереди числовые характеристики вариационных рядов и начнём мы с их центральных характеристик, а именно – Моды, медианы и средней.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 7. Решение: заполним расчётную таблицу

Построим гистограмму и полигон относительных частот:

Построим эмпирическую функцию распределения:

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2018. Копирование материалов сайта запрещено