Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта


Как найти частные производные неявно заданной функции?


Почти так же, как и производную неявной функции одной переменной. С поправкой на особенности дифференцирования ФНП, которые мы подробно разобрали на уроках Частные производные функции двух и трёх переменных. …На данной странице, думается, задержались калачи тёртые, и поэтому, перефразируя известного киногероя, я буду грузить вас аккуратно, но сильно =)

Начнём с функции двух переменных , неявный вид которой чаще всего обозначают уравнением. Обе формы уже неоднократно встречались в предыдущих статьях раздела, но, тем не менее, элементарный пример:

 – функция плоскости в явном виде;
 – та же функция, заданная неявно.

Последняя запись, как вы прекрасно знаете – есть ни что иное, как общее уравнение плоскости, из которого легко получить функциональный вид. Однако сегодня нас мало интересует, можно ли выразить «зет» или нельзя, поскольку принципиальный алгоритм дифференцирования неявно заданной функции совершенно от этого не зависит. Давайте вспомним общую схему решения:

Пример 1

Найти частные производные 1-го порядка функции

Решение: Найдём . Сначала на обе части уравнения «навешиваем» штрихи с «иксовым» подстрочным индексом:

Далее пользуемся тривиальным правилом :


 – это, очевидно, и есть наша частная производная , таким образом:

И на завершающем шаге выражаем результат:

Аналогично с частной производной по «игрек»:

Ответ:

Естественно, что производные получились точно такими же, что и при дифференцировании «обычной» функции:

Но то была, конечно же, шутка:

Пример 2

Дана функция . Найти частные производные 1-го и 2-го порядков.

Слишком просто? Я бы не спешил с выводами ;-)

Решение: сначала найдём частные производные 1-го порядка. По «икс»:

В правой части находится «живой» множитель «икс», а значит, необходимо применить правило дифференцирования произведения :

Поскольку буква «зет» САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (), то при нахождении   следует использовать правило дифференцирования сложной функции . Тоже знакомый вам мотив! В данном случае внешняя функция – это степень, а внутренняя функция – это собственно функция «зет»:

Причешем результат:

Теперь в левой части нужно собрать слагаемые, которые содержат производную, а справа – всё остальное:

Выносим  за скобки и сбрасываем множитель в правую часть:

Готово.

Найдём частную производную по «игрек»:

Так как «икс» считается константой, то в правой части сразу выносим его за знак производной:

Готово.

Найдём частные производные 2-го порядка. Как я уже рекомендовал, сначала выгоднее найти смешанные частные производные и убедиться, что , проверив тем самым правильность предыдущих действий.

Как найти производную ? Существует прямой путь  с применением правила , но в данном случае он не очень удобен. Для дифференцирования по «игрек» лучше выбрать не финальную частную производную , а предшествующее равенство  и «навесить» на обе его части «игрековые» штрихи:
 
Этот трюк, кстати, не нов – о нём я рассказывал на уроке Производные высших порядков.

Слева используем правило  и не забываем, что «икс» считается константой:

Слагаемое с нужной нам производной  оставляем слева:

Производные высших порядков по возможности принято выражать только через «икс», «игрек» и «зет». А такая возможность здесь более чем реалистична – подставим найденные ранее  в правую часть и упростим результат:

И по завершению генеральной уборки сбрасываем множитель :

Найдём «родственницу» . Опять – для дифференцирования по «икс» можно взять не саму производную , а предшествующее равенство , но ради разнообразия я пойду прямой дорогой:

Подставим  и избавимся от трёхэтажности дроби:

Таким образом, , что мы и хотели увидеть.

На завершающем этапе предельно внимательно разбираемся с производными .

Вторую производную по «икс» рациональнее найти не прямым дифференцированием первой производной  (получится громоздкая дробь), а из равенства . Навешиваем «иксовые» штрихи на обе части:

Слева дважды применяем правило , главное, тут не запутаться:

Подставляем в правую часть :

Окончательно:

Следует отметить, что здесь существует очень хорошая возможность проверить результат. Для этого вторую производную нужно взять напрямую:  и таки разобраться с громоздкой дробью.

Тяжеловато? Ну я же обещал =)

Впрочем, оставшаяся производная простецкая, используем дифференцирование «в лоб»:

Подставим :

Проверка тут зеркальна – дифференцируем по «игрек» обе части равенства

И самый приятный момент:

Ответ:

Как найти частные производные более высоких порядков? По тем же принципам. Так, например, производная  отыскивается как прямым дифференцированием , так и навешиванием «игрековых» штрихов на левую и правую часть равенства .

Какой из этих двух способов удобнее – нужно смотреть по ситуации.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти частные производные 1-го и 2-го порядков неявно заданной функции.

К слову, из этой солянки элементарно выражается «зет», но сейчас весь интерес состоит в том, чтобы провести решение «неявным образом». Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Техника нахождения частных производных от неявно заданной функции разобрана до мелочей, но остался ещё один небольшой вопрос: как в подобных случаях находить частные производные в какой-либо конкретной точке? Рассмотрим пару задач на эту тему:

Пример 4

Вычислить значения частных производных функции  в точке .

Решение: на всякий случай удостоверимся, что точка  действительно принадлежит поверхности . Для этого подставим координаты  в левую часть:
, что и требовалось проверить.

Найдём частную производную по «икс»:

Поскольку «игрек» считается константой, то  – тоже константа. Но особое внимание обратите на  – тут двойное вложение: под степень вложен косинус, а под косинус – функция «зет»:

Для удобства уберём минусы (умножим обе части на –1) и воспользуемся известной тригонометрической формулой :

Производную в точке  можно вычислить уже сейчас – для этого следует подставить её координаты  в левую часть и выразить :

Но в данном случае более прост «цивилизованный» путь, сначала выражаем производную:

Затем находим производную в точке:

Аналогично разбираемся с частной производной по «игрек»:

Ответ:

Для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить значения частных производных функции  в точке .

Примеры №№4,5 взяты из задачника Рябушко и желающие могут раздобыть там ещё около 30 примеров (ИДЗ 10.1), кстати, с правильными ответами!

На практике вам могут предложить похожую задачу, но не с точкой, которая принадлежит самой поверхности, а с точкой  из плоскости . В этом случае значение  придётся отыскать самостоятельно. Например, если дана функция  и точка , то выполняем подстановку :
, откуда следует, что .

Частные производные неявно заданной функции трёх переменных

Задачка редкая, но пропускать не стОит. Советую сделать перерыв после предыдущего параграфа (особенно, если вы что-то порешали), поскольку в функции трёх переменных  буква «зет» – уже независимая переменная, и по этой причине вас будет неслабо подглючивать.

Всё очень похоже – разве что аргумент один прибавился. Неявно заданную функцию трёх переменных обычно обозначают через , и её дифференцирование осуществляется по тем же принципам:

Пример 6

Найти частные производные первого порядка функции

Решение: итак, требуется найти

Найдём частную производную по «икс»:

Что тут нужно держать на заметке?  и  – это «живые» буквы, а  – константы:

Собираем слагаемые с производной в левой части и выражаем результат:

Найдём частную производную по «игрек» ( – константы):

В левой части дела заметно усложнились:

Распишу всё максимально подробно:

Таким образом:

Это была, пожалуй, наиболее трудная производная.

И, наконец, навешиваем на обе части «зетовые» штрихи ( – константы):

Ответ:

И чисто символическое заключительное задание для самостоятельной работы:

Пример 7

Найти частные производные первого порядка неявно заданной функции

Надеюсь, к концу статьи вы сохранили форму и бодрое расположение духа, потому что высшая математика ещё потребует некоторых затрат энергии =)

Жду вас на новых уроках!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: найдём частные производные 1-го порядка:

Найдём частные производные 2-го порядка:

Дифференцируем по «игрек» обе части равенства :

В правую часть подставим :

В целях более эффективной проверки вторую смешанную производную найдём прямым дифференцированием:

Подставим :

Что и требовалось проверить

Дифференцируем по «икс» обе части равенства :

Подставим в правую часть :

Дифференцируем по «игрек» обе части равенства :

Подставим в правую часть :

Ответ:

Пример 5: Решение:

Ответ:

Пример 7: Решение: найдём частные производные первого порядка:

Ответ:

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено