Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Предел функции комплексной переменной.
Определение и примеры решений

Когда зажигаются звёзды в небе ночном,
Память непрошеным гостем входит в мой дом (с)

И снова здравствуйте, с вами Александр Емелин, и с нами ностальгия…. В далёком 2010 году среди первых семи статей сайта я запостил урок о том, как решать пределы, и сейчас тема получает продолжение. Сегодня у нас ретро-вечер, поэтому зажжём свечи, возьмём в руки ручки и с трепетом вспомним первый курс, когда мы только начали изучать математический анализ….

Поскольку люди собрались тёртые, все во фраках, то сначала рассмотрим определение предела функции комплексной переменной, затем разберём пару теоретических задач и с 3-го примера зарядим практику, изучая различные методы решения пределов функции комплексной переменной. …Или переменного, как часто загадочно её величают.

По аналогии с действительным случаем, определение предела функции комплексной переменно даётся с помощью последовательностей либо на языке «эпсилон-дельта» окрестностей (по Коши). Дабы не утомлять вас теорией, я озвучу лишь второй вариант. Для этого знакомимся с понятием окрестности в комплексном случае, областями на комплексной плоскости (там же) и выдыхаем :)

Число  называют пределом функции  в точке , если для любой окрестности  (заранее выбранной и сколь угодно малой) точки , существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что КАК ТОЛЬКО значения  входят в эту окрестность:  (красная стрелка) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции  заходят в -окрестность:  (синяя стрелка). «Точки входа», разумеется, могут быть в любом месте, это зависит от конкретного примера:

Символическое обозначение: .

Иными словами, если значения «зет» бесконечно близко приближаются к точке , то соответствующие значения «дубльвэ» бесконечно близко приближаются к точке , при этом траектории движений могут быть совершенно любыми. Обращаю внимание, что речь идёт лишь о приближении – в самой точке  функция  может быть и не определена, т. е. значения  может и не существовать. В этом случае точки  и  следует «выколоть».

Если значение  существует и предел функции в точке «зет нулевое»:  – равен этому значению, то функция  непрерывна в точке .

Как видите, определение непрерывности  аналогично определению в действительном случае. Его также можно сформулировать на языке «эпсилон-дельта», но я не буду.

Поскольку комплексную функцию можно записать в виде , где  и  – функции двух действительных переменных, то существование конечного предела в точке :

  – эквивалентно существованию следующих двух пределов функций двух переменных: . Непрерывность же функции  в точке  эквивалентна непрерывности функций  в точке . …Это вам справочно, для трудных жизненных ситуаций :) Ну а сейчас нас ждут более распространённые задачи:

Пример 1

С помощью определения доказать, что . Будет ли функция непрерывна в точке ?

Решаем по шаблону действительного случая. Используем определение предела, запишу его кратко – читаем вслух ;)

..Есть? Теперь детально: нам нужно доказать, что для любой окрестности  точки  существует окрестность  (как правило, зависящая от «эпсилон») точки , ТАКАЯ, что как только значения «зет» заходят в эту окрестность:  – ТАК СРАЗУ соответствующие значения «дубльвэ»  оказываются в выбранной «эпсилон»-окрестности: . ….Если вам не очень понятны неравенства с модулем – срочно повторяем области на комплексной плоскости.

Рассмотрим произвольную -окрестность точки  и проверим, найдётся ли -окрестность точки , такая, что из неравенства  следует .

Преобразуем последнее неравенство:

 – таким образом, для произвольной -окрестности точки  нашлась такая окрестность  точки .

Вывод:  по определению.

Проверим, будет ли функция  непрерывна в точке .

Во-первых,  – функция определена в данной точке, это необходимое условие непрерывности.

Более того,  – предел функции в точке равен значению этой функции в данной точке.

Вывод: функция непрерывна в точке по определению.

Аналогично действительному случаю, формулируется и определение бесконечного предела . Но сначала важный момент: поскольку бесконечно удалённая точка  единственна, то в отличие от действительного предела, здесь нет понятия «плюс» или «минус» бесконечности. Просто бесконечность! Именно так.

Дадим определение бесконечного предела на языке «эпсилон-дельта». Для этого вспомним, что неравенство  определяет круг с центром в начале координат радиуса  («эпсилон-большое»). Соответственно, неравенство  задаёт внешнюю часть этого круга и она – есть -окрестность бесконечно удалённой точки . Тот факт, что значение  попало в эту окрестность выражается тем, что его модуль .

Итак, определение.  Бесконечность является пределом функции  при , если для любой -окрестности точки  (заранее выбранной и сколь угодно большой) существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что КАК ТОЛЬКО значения  входят в эту окрестность: – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции  попадают в -окрестность: .

Пример 2

Пользуясь определением предела, доказать, что .

Решение: в Примере 2 статьи об отображении линий и областей нами уже найдены действительная и мнимая части функции :

Составим формулу модуля значений этой функции:

Рассмотрим произвольную -окрестность точки . Требуется доказать, что для этой окрестности существует -окрестность точки , такая, как только значения «зет» в неё попадают:  – так сразу соответствующие значения «дубльвэ» входят в окрестность бесконечно удалённой точки: .
Из последнего неравенства выражаем  – таким образом, искомая «дельта»-окрестность существует: .

Вывод:  по определению.

Желающие могут сформулировать определения пределов , придумать и доказать простенькие примеры, а то и вовсе уединиться с теорией в отдельном кабинете. Ну а мы переходим к практическим примерам, ради которых многие заглянули к нам на огонёк.

На практике почти всегда предлагают конечные пределы, и методы их решения такие же, как у «обычных» пределов. Впрочем, особенности и новинки тоже будут, которые, кстати, имеют отношение и к действительному случаю. Поехали.

Во-первых, вспомним примитивный, но очень важный приём: когда мы видим любой предел, то сначала пробуем подставить в функцию предельное значение «зет»:

Готово! Но чаще всего, конечно, при такой подстановке нас ждёт неопределённость, которую нужно будет устранить:

Пример 3

Вычислить предел функции комплексной переменной, начнём с бороды из задачника Краснова и К:

При подстановке предельного значения  в функцию обнаруживается неопределённость , поэтому прерываем решение «звёздочкой» для промежуточных действий:

Вверху и внизу у нас находятся комплексные многочлены, и для устранения этой неопределённости следует разложить числить и знаменатель на множители, после чего что-то обязательно сократится. В нашем случае разложить нужно лишь числитель, для этого решим квадратное уравнение по стандартным формулам:

Вычислим дискриминант: , значит, уравнение имеет два комплексных корня.

Из дискриминанта извлекаются два корня: , но поскольку в формуле  корней квадратного уравнения фигурируют знаки , то достаточно рассмотреть только одно значение, возьмём :

Таким образом,  (формула там же)

В результате числитель и знаменатель сокращаются на , и теперь можно смело подставлять предельное значение «зет»:

Готово. Обратите внимание, что функция  не определена в точке , но предел преспокойно себе существует. Ещё раз подчёркиваю, что предел – это бесконечно близкое приближение к точке, а не значение функции в ней. Ну а то, что на финише мы подставили   и получили  – всего лишь формальный технический приём.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить комплексный предел

Решаем от руки, на бумаге, лучше всего – в отдельной клетчатой тетрадке.  …Помните такая была – 18 листов? :) Сверяемся с образцом в конце урока и продолжаем:

Пример 5

Вычислить предел

Если неопределённость «ноль на ноль» порождается разностью, в которой есть корень (корни), то приём тоже знакОм.

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое числителю выражение, чтобы воспользоваться формулой :

Здесь на нижнем этаже удобно сразу указать, куда стремится корень, сложить 2 + 2 и вынести результат за значок предел. В тетрадке можно обвести корень в кружочек карандашом и сделать соответствующую пометку. Ну а разность квадратов раскладываем на множители по той же формуле:

и ещё тут «крутануть» разность придётся, можно снизу, можно сверху:

Готово. Очень полезный пример в плане обилия технических приёмов…

Решаем самостоятельно, в тетрадке, и это вовсе не шутка, а настоятельная рекомендация:

Пример 6

Вычислить пределы
а)
б)

Легко видеть, что всё проходит «под копирку» действительного случая, и, конечно же, в комплексной области работают замечательные пределы:

Пример 7

И вновь неопределённость «ноль на ноль» (ибо косинус нуля – единица, синус нуля – ноль). Вспоминаем ходовые тригонометрические формулы, работающие и в комплексной области. А именно, хит :

Используем первый замечательный предел . Чтобы организовать сию конструкцию, причём два раза, искусственно домножаем числитель и знаменатель на  и на . Классика всегда в моде:

Готово. Как вариант, можно использовать замечательную эквивалентность  (если  ):

Но этот подход лучше применять только в трудных случаях, так как он не слишком котируется у преподавателей. Ну, типа студент схалтурил.

Трясём стариной самостоятельно:

Пример 8

Довольно популярна в теме замена переменной:

Пример 9

Поскольку , то имеет место быть та же неопределённость:

Проведём замену переменной: . Если , то , и в этом-то и был смысл – если переменная стремится к нулю, то решать предел намного удобнее.

Ещё из замены нужно выразить «зет»:

Таким образом:

Неопределённость, естественно, никуда не делась. Используем формулы:


и проводим упрощения, используя значения :

Готово. Интересный предел для самостоятельного решения…, не хочется предлагать что-то совсем простое, да пусть будет два:

Пример 10

а) – попроще,
б)  – и посложнее.

Если позабылись значения тригонометрических функций, соответствующая таблица в помощь.

Теперь переходим к новому материалу, а именно, к пределам с гиперболическими функциями. Причём, нижесказанное будет справедливо не только для комплексного, но и для частного – действительного случая. Другое дело, что действительные пределы с гиперболиками – крайняя редкость на практике, поэтому до сих пор я обходил их вниманием.

С первого урока вспоминаем, что гиперболический синус и косинус определяются через экспоненту:
, откуда, к слову, сразу виднЫ очевидные значения:
, которые нужно просто-таки запомнить. Впрочем, чего тут запоминать, они такие же, как у тригонометрического синуса с косинусом.

И перед тем, как пилить следующие примеры, я познакомлю вас с ещё одним замечательным пределом: , «перевёртыш» такой же: .

Доказательство здесь короткое, настолько, что я даже его приведу. По определению гиперболического синуса:

Искусственно преобразуем числитель, выполняем почленное деление и сводим решение к замечательному пределу , этот приём, кстати, я уже когда-то разбирал:

Что и требовалось доказать.

Очевидно, справедлива и эквивалентность  при .

Возвращаемся к практике:

Пример 10

Если в пределе одни гиперболики, то для устранения неопределённость 0/0 целесообразно использовать гиперболические формулы (с обобщением на комплексный случай), приведу самые ходовые из них:

 (знает каждый пионер);
 (основное гиперболическое тождество),
 (формулы двойного аргумента);
 (формулы понижения степени).

В нашем пределе:

– из формулы  выражаем:

и далее можно не постесняться использовать эквивалентность , ибо расписывать четыре замечательных предела – уже как-то чересчур:

Готово. Но гораздо чаще в пределе встречается «ассорти» из тригонометрических и гиперболических функций:

Пример 11

Я намеренно выбрал очень простой пример, чтобы продемонстрировать некоторые другие идеи, которые могут быть полезны в ходе решения пределов.

Во-первых, тут сразу виден ответ. Имея в виду эквивалентности :
 – не забываем о правилах хорошего тона, представляя результат в алгебраической форме.

Однако эквивалентности уместны (повторюсь), когда предел достаточно сложный, поэтому лучше организовать замечательные пределы:
…, все увидели, что к чему?

Это второй способ.

Третий подход состоит в том, чтобы решить предел с помощью рядов – разумеется, этот приём работает и в комплексном случае. Вспоминаем разложение синуса:

Поскольку у гиперболического синуса аргумент сложный, то его разложение сначала запишем с буковкой  «альфа»:

В нашем примере :

Теперь осталось заменить синусы соответствующими рядами, вынести «зет» за скобки, сократить на «зет» и указать, что почти все члены рядов стремятся к нулю:

Этот метод особенно хорош, когда «начинка» предела «разношёрстная».

И, наконец, четвёртый способ, который при прочих равных я рекомендую в качестве основного. Он состоит в том, чтобы свести гиперболические функции к своим тригонометрическим собратьям, по формулам , ну или в такой версии их можно записать: .

В нашем примере, очевидно :

Готово.

Решаем самостоятельно:

Пример 12

а)
б)

Помимо пределов функций, вам также могут встретиться пределы комплексных последовательностей, с соответствующими примерами можно ознакомиться в известной книге:

М. Л. Краснов, А. И. Киселёв, Г. И. Макаренко - Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями.

Кроме того, буду рад, если вы отправите мне примеры из своих контрольных работ / методичек, которые не освещены в настоящей статье. Дело в том, что комплексные пределы – гость на практике редкий, и я привёл лишь то, что реально встретил. Поэтому предоставляю вам возможность задуть свечи.

Спасибо за присутствие, активное участие, на очереди производные.

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено