Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену


  Карта сайта



Как решить дифференциальное уравнение
методом операционного исчисления?


На данном уроке будет подробно разобрана типовая и широко распространенная задача комплексного анализа – нахождение частного решения ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления. Снова и снова избавляю вас от предубеждения, что материал немыслимо сложный и недоступный. Забавно, но для освоения примеров можно вообще не уметь дифференцировать, интегрировать и даже не знать, что такое комплексные числа. Потребуется навык применения метода неопределённых коэффициентов, который детально разобран в статье Интегрирование дробно-рациональных функций. Фактически краеугольным камнем задания являются обычные алгебраические действия, и я уверен, что материал доступен даже для школьника.

Сначала сжатые теоретические сведения о рассматриваемом разделе математического анализа. Основная суть операционного исчисления состоит в следующем: функция действительной переменной  с помощью так называемого преобразования Лапласа отображается в функцию комплексной переменной :

Терминология и обозначения:
функция  называется оригиналом;
функция  называется изображением;
заглавной буквой  обозначается преобразование Лапласа.

Говоря простым языком, действительную функцию  (оригинал) по определённым правилам нужно превратить в комплексную функцию  (изображение). Стрелочка  обозначает именно это превращение. А сами «определенные правила» и являются преобразованием Лапласа, которое мы рассмотрим лишь формально, чего для решения задач будет вполне достаточно.  

Осуществимо и обратное преобразование Лапласа, когда изображение превращается в оригинал:

Зачем всё это нужно? В ряде задач высшей математики бывает очень выгодно перейти от оригиналов  к изображениям , поскольку в этом случае  решение задания значительно упрощается (шутка). И как раз одну из таких задач мы и рассмотрим. Если вы дожили до операционного исчисления, то формулировка должна быть вам хорошо знакома:

Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  при заданных начальных условиях .

Примечание: иногда дифференциальное уравнение может быть и однородным: , для него в вышеизложенной формулировке также применим метод операционного исчисления. Однако в практических примерах однородное ДУ 2-го порядка встречается крайне редко, и далее речь пойдёт о неоднородных уравнениях.

Как известно, неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка можно решить методом подбора частного решения по виду правой части либо методом вариации произвольных постоянных.

И сейчас будет разобран третий способ – решение ДУ с помощью операционного исчисления. Ещё раз подчеркиваю то обстоятельство, что речь идёт о нахождении частного решения, кроме того, начальные условия строго имеют вид  («иксы» равны нулям).

К слову, об «иксах». Уравнение  можно переписать в следующем виде:
, где «икс» – независимая переменная, а «игрек» – функция. Я не случайно об этом говорю, поскольку в рассматриваемой задаче чаще всего используются другие буквы:

То есть роль независимой переменной играет переменная «тэ» (вместо «икса»), а роль функции играет переменная «икс» (вместо «игрека»)

Понимаю, неудобно конечно, но лучше придерживаться обозначений, которые встречаются в большинстве задачников и методичек.

Итак, наша задача с другими буквами записывается следующим образом:

Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  при заданных начальных условиях .

Смысл задания нисколько не изменился, изменились только буквы.

Как решить данную задачу методом операционного исчисления?

Прежде всего, потребуется таблица оригиналов и изображений. Это ключевой инструмент решения, и без неё не обойтись. Поэтому, по возможности, постарайтесь распечатать указанный справочный материал. Сразу же поясню, что обозначает буква «пэ»: комплексную переменную (вместо привычного «зет»). Хотя для решения задач этот факт не имеет особого значения, «пэ» так «пэ».

С помощью таблицы оригиналы  и  необходимо превратить в некоторые изображения. Далее следует ряд типовых действий, и используется обратное преобразование Лапласа (тоже есть в таблице). Таким образом, будет найдено искомое частное решение.

Все задачи, что приятно, решаются по достаточно жесткому алгоритму.

Пример 1

С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.
, ,

Решение: На первом шаге перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Используем левую сторону таблицы оригиналов и изображений.

Сначала разбираемся с левой частью исходного уравнения. Для преобразования Лапласа справедливы правила линейности, поэтому все константы игнорируем и по отдельности работаем с функцией  и её производными.

По табличной формуле №1 превращаем функцию:

По формуле №2 , учитывая начальное условие , превращаем производную:

По формуле №3  , учитывая начальные условия , превращаем вторую производную:
 

Не путаемся в знаках!

Признаюсь, правильнее говорить не «формулы», а «преобразования», но для простоты время от времени буду называть начинку таблицы формулами.

Теперь разбираемся с правой частью, в которой находится многочлен . В силу того же правила линейности преобразования Лапласа, с каждым слагаемым работаем отдельно.

Смотрим на первое слагаемое:  – это независимая переменная «тэ», умноженная на константу. Константу игнорируем и, используя пункт №4 таблицы, выполняем преобразование:

Смотрим на второе слагаемое: –5. Когда константа находится одна-одинёшенька, то пропускать её уже нельзя. С одиночной константой поступают так: для наглядности её можно представить в виде произведения: , а к единице применить преобразование:

Таким образом, для всех элементов (оригиналов) дифференциального уравнения  с помощью таблицы найдены соответствующие изображения:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение :

Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение  через всё остальное, а именно – через одну дробь. При этом целесообразно придерживаться следующего порядка действий:

Для начала раскрываем скобки в левой части:

Приводим подобные слагаемые в левой части (если они есть). В данном случае складываем числа –2 и –3. Чайникам настоятельно рекомендую не пропускать данный этап:

Слева оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим направо со сменой знака:

В левой части выносим за скобки операторное решение , в правой части приводим выражение к общему знаменателю:

Многочлен слева следует разложить на множители (если это возможно). Решаем квадратное уравнение:

Таким образом:

Сбрасываем  в знаменатель правой части:

Цель достигнута – операторное решение  выражено через одну дробь.

Действие второе. Используя метод неопределенных коэффициентов, операторное решение уравнения следует разложить в сумму элементарных дробей:

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:

Если возникли затруднения с методом неопределенных коэффициентов, пожалуйста, наверстайте упущенное в статьях Интегрирование дробно-рациональной функции и Как решить систему уравнений? Это очень важно, поскольку разложение на дроби, по существу, самая важная часть задачи.

Итак, коэффициенты найдены: , и операторное решение предстаёт перед нами в разобранном виде:

Обратите внимание, что константы записаны не в числителях дробей. Такая форма записи выгоднее, чем . А выгоднее, потому что финальное действие пройдёт без путаницы и ошибок:

Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью обратного преобразования Лапласа перейти от изображений к соответствующим оригиналам. Используем правый столбец таблицы оригиналов и изображений.

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Возможно, не всем понятно преобразование . Здесь использована формула пункта №5 таблицы: . Если подробнее:  . Собственно, для похожих случаев формулу можно модифицировать: . Да и все табличные формулы пункта №5 очень легко переписать аналогичным образом.

После обратного перехода искомое частное решение ДУ получается на блюдечке с голубой каёмочкой:

Было:

Стало:

Ответ: частное решение:

При наличии времени всегда желательно выполнять проверку. Проверка выполняется по стандартной схеме, которая уже рассматривалась на уроке Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Повторим:

Проверим выполнение начального условия :
 – выполнено.

Найдём первую производную:

Проверим выполнение второго начального условия :
 – выполнено.

Найдём вторую производную:

Подставим ,  и  в левую часть исходного уравнения :

Получена правая часть исходного уравнения.

Вывод: задание выполнено правильно.

Небольшой пример для самостоятельного решения:

Пример 2

С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Наиболее частный гость в дифференциальных уравнениях, как многие давно заметили, экспоненты, поэтому рассмотрим несколько примеров с ними, родными:

Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления.
, ,

Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа (левая часть таблицы) перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям.

Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Там отсутствует первая производная. Ну и что из того? Отлично. Работы поменьше. Учитывая начальные условия , по табличным формулам №№1,3 находим изображения:

Теперь смотрим на правую часть:  – произведение двух функций. Для того чтобы воспользоваться свойствами линейности преобразования Лапласа, нужно раскрыть скобки: . Так как константы находятся в произведениях, то на них забиваем, и, используя группу №5 табличных формул, находим изображения:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение:

Напоминаю, что дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение  через единственную дробь.

В левой части оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим в правую часть. Заодно в правой части начинаем потихоньку приводить дроби к общему знаменателю:

Слева выносим  за скобки, справа приводим выражение к общему знаменателю:

В левой части получен неразложимый на множители многочлен . Если многочлен не раскладывается на множители, то его, бедолагу, сразу нужно сбросить на дно правой части, забетонировав ноги в тазике. А в числителе раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Наступил самый кропотливый этап: методом неопределенных коэффициентов разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:

Таким образом:

Обратите внимание, как разложена дробь: , скоро поясню, почему именно так.

Финиш: перейдем от изображений к соответствующим оригиналам, используем правый столбец таблицы:

В двух нижних преобразованиях использованы формулы №№6,7 таблицы, и дробь  предварительно раскладывалась как раз для «подгонки» под табличные преобразования.

В результате, частное решение:

Ответ: искомое частное решение:

Похожий пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления.

Краткое решение и ответ в конце урока.

В Примере 4 одно из начальных условий равно нулю. Это, безусловно, упрощает решение, и самый идеальный вариант, когда оба начальных условия нулевые: . В этом случае производные преобразуются в изображения без хвостов:

Как уже отмечалось, наиболее сложным техническим моментом задачи является разложение дроби  методом неопределенных коэффициентов, и в моём распоряжении есть достаточно трудоёмкие примеры. Тем не менее, монстрами запугивать никого не буду, рассмотрим ещё пару типовых разновидностей уравнения:

Пример 5

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
, ,

Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Учитывая начальные условия :

С правой частью тоже никаких проблем:

(Напоминаю, что константы-множители игнорируются)

Подставим полученные изображения в исходное уравнение и выполняем стандартные действия, которые, я надеюсь, вы уже хорошо отработали:

Константу в знаменателе выносим за пределы дроби, главное, потом про неё не забыть:

Думал, выносить ли ещё дополнительно двойку из числителя, однако, прикинув, пришел к выводу, что данный шаг практически не упростит дальнейшего решения.

Особенностью задания является полученная дробь. Кажется, что её разложение будет долгим  и трудным, но впечатление обманчиво. Естественно, бывают сложные вещи, но в любом случае – вперёд, без страха и сомнений:

То, что некоторые коэффициенты получились дробными, смущать не должно, такая ситуация не редкость. Лишь бы техника вычислений не подвела. К тому же, всегда есть возможность выполнить проверку ответа.

В результате, операторное решение:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Таким образом, частное решение:

На последних двух шагах был проведён, так скажем, косметический ремонт ответа.

Ответ: частное решение:

И, естественно, если в ходе решения получились дроби, то проверка напрашивается сама собой, чтобы развеять все сомнения относительно правильности результата. Я выполнил проверку на черновике, всё сошлось.

Похожий и весьма любопытный пример для самостоятельного решения:

Пример 6

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
, ,

Он проще, чем кажется, решение и ответ в конце урока.

Рассматриваемые задания сплошь и рядом попадаются в контрольных работах, и я не случайно включаю в урок вроде бы однообразные примеры. В заключение разберу ещё один тип уравнения, который встречается реже, но встречается:

Пример 7

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
, ,

Алгоритм стандартен.

Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим полученные изображения в исходное уравнение и выразим операторное решение:

В левой части получен неразложимый на множители трёхчлен (можете попробовать решить квадратное уравнение). Подобный случай уже встречался в Примере 3. Ну не раскладывается, так не раскладывается, сбрасываем его в правую часть:

Методом неопределенных коэффициентов разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:

Таким образом:

Пожалуйста, внимательно просмотрите на манипуляции с дробью . Во-первых, в числителе использован искусственный приём: . Во-вторых, в знаменателе выделяется полный квадрат (если кто забыл о данном действии, читайте  статью Интегрирование некоторых дробей). Все эти ухищрения выполнены с единственной целью: нужно преобразовать дробь   ТАК, чтобы потом использовать табличные формулы ,    (№№10,11 таблицы).

Дальнейшее просто:

В результате, частное решение:

Ответ:

Как видите, помимо навыков решения, в рассмотренной задаче присутствует ещё и творчество. Когда происходит «затык», нужно постараться что-нибудь придумать, проявить смекалку, фантазию. Да и не только в математике.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим полученные изображения в исходное уравнение:

Методом неопределенных коэффициентов разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:

Таким образом:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Ответ: частное решение:

Пример 4: Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим полученные изображения в исходное уравнение:

Методом неопределенных коэффициентов разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:

Таким образом:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Ответ: частное решение:

Пример 6: Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Учитывая начальные условия :

Подставим полученные изображения в исходное уравнение:

Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:

В результате:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Частное решение:

Ответ:

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено