Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену


  Карта сайта



Основные поверхности пространства и их построение


Данная статья носит справочный характер и по своей структуре очень напоминает материалы о графиках и свойствах элементарных функций. С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.

Чем отличается этот справочный материал от аналогов?

Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.

Что нужно уметь на данный момент?

Самое элементарное:

Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций).

Во-вторых, необходимо уметь откладывать точки в этой системе координат; об этом я достаточно подробно рассказал на уроках Уравнениях прямой в пространстве и Треугольная пирамида.

Далее считаем, что все события происходят в прямоугольной системе координат.  

Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?

Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.

Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.

Начинаем!

На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных  или уравнением вида  (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице). Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии. Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую  в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c первого урока по теме ФНП:

 – уравнение плоскости вида .

 – функция плоскости в явном виде .

Давайте с неё и начнём:


Распространенные уравнения плоскостей

Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости. Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.

Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как  параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:
Плоскости, параллельные координатным плоскостям
Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.

Тем, кто ещё не успел, настоятельно рекомендую ознакомиться с указанной выше статьёй и понять неформальный смысл этих уравнений. Повторим заодно и соответствующие неравенства:

(левый чертёж) неравенство  задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;

(средний чертёж) неравенство  задаёт правое полупространство, включая плоскость ;

(правый чертёж) двойное неравенство  задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.

Для самостоятельной разминки:

Пример 1

Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.

Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед. Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.

Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)

Следующую группу плоскостей  условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:

1) уравнение вида  (здесь и далее ) задаёт плоскость, проходящую через ось ;

2) уравнение вида  задаёт плоскость, проходящую через ось ;

3) уравнение вида  задаёт плоскость, проходящую через ось .

Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость), всегда полезно понимать суть происходящих событий:

Пример 2

Построить плоскость

Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:

Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения  задают пространственную прямую, лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку  и проводим прямую.

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости  прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой  откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:
Плоскость, проходящая через ось ординат
Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.

Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку  из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство, значит, неравенство  задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.

Пример 3

Построить плоскости
а) ;
б) .

Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.

На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:

Пример 4

Построить плоскость

Решение: в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.

Перепишем уравнение плоскости в виде  из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем  и в «родной» плоскости  начертим обычную «плоскую» прямую .  Для её построения удобно взять опорные точки .

Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:
Плоскость, параллельная оси аппликат
Готово.

Уравнение плоскости в отрезках

Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости  отличны от нуля, то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках. Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:

Пример 5

Построить плоскость

Решение: сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:

Делаем дроби трёхэтажными:

Именно так! – ведь знаменатели могут оказаться и дробными. Но в данном случае всё разделилось нацело:

Таким образом, плоскость проходит через точки . В целях  самоконтроля координаты каждой точки устно подставим в исходное уравнение . После чего выполним чертёж:
Плоскость, заданная уравнением в отрезках, изображается треугольником
В отличие от предыдущих примеров здесь фрагмент плоскости изображается в виде треугольника, который в общем случае может «прорисоваться» в любом из восьми октантов.

Задание для тренировки:

Пример 6

Построить плоскость

Краткое решение и чертёж в конце урока.

Переходим к другой обширной группе обитателей 3D-мира:


Цилиндрические поверхности

Или, если короче – цилиндры.

! Примечание: в ряде источников информации под цилиндром понимается исключительно геометрическое тело, а не поверхность!

Следует отметить, что в математике под этими терминами скрывается не совсем то, что обычно подразумевает обыватель, и класс цилиндрических поверхностей не ограничивается чёрным цилиндром на голове:

Пример 7

Построить поверхность, заданную уравнением

…что за дела? Не опечатка ли здесь? Вроде как дано каноническое уравнение эллипса

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем  и построим в плоскости  эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна:
Эллиптический цилиндр
Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром. Эллипс  (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось  является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство  задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство  определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность:

Пример 8

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса  в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Цилиндр с направляющей-окружностью
Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство  задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Пример 9

Построить поверхность  и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде  из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем  и в плоскости  изобразим окружность  – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:
Цилиндр с осью симметрии OX
На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке  и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси  смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций  (верхний «жёлоб» цилиндра),  (нижний «жёлоб»).

Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость  является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми  ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость  несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Пример 10

Построить поверхность  и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.

Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:

 (по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка) –  цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку  параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола.

Пример 11

Построить поверхность  и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение: идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем  и построим обычную параболу  на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости)  и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Параболический цилиндр
Напоминаю полезный технический приём: если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.

Проекции.

1) Проекцией цилиндра на плоскость  является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра  не приводимо к функциональному виду .

2) Проекция цилиндра на плоскость  представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость  является вся плоскость .

Пример 12

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б)  на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа ;-)

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы. Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :
Гиперболический цилиндр
Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола  из плоскости  непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.

Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка, и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:


Эллипсоид. Сфера и шар

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где  – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае  различны. Эллипсоидом называют как поверхность, так и тело, ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством  и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:
Эллипсоид
Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае) эллипса. В зависимости от значений  эллипсоид может быть вытянут вдоль любой оси, причём вытянут достаточно далеко.

Если две полуоси совпадают, то данную поверхность/тело называют эллипсоидом вращения. Так, например, эллипсоид  получен вращением эллипса  вокруг оси  (представьте мысленно).

Небольшая задачка для самостоятельного решения:

Пример 13

Построить эллипсоид . Записать уравнение порождающего эллипса и ось, вокруг которой осуществляется его вращение.

Чертёж и краткий комментарий в конце урока.

В случае равенства всех полуосей , эллипсоид вырождается в сферу:
 – данное уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса .

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Неравенство  определяет шар с центром в начале координат радиуса . И, соответственно, противоположному условию  удовлетворяют координаты любой внешней точки.

Разделаемся с аппетитным Колобком:

Пример 14

Построить поверхность . Найти функции, задающие верхнюю и нижнюю полусферу, указать их области определения. Записать аналитическое выражение шара, ограниченного данной сферой и проверить, принадлежат ли ему точки

Решение: уравнение  задаёт сферу с центром в начале координат радиуса 2.  Здесь, как и в примерах с параболическими цилиндрами, выгодно уменьшить масштаб чертежа:
Сфера и шар
Выразим «зет»:

 – функция, задающая верхнюю полусферу;
 – функция, задающая нижнюю полусферу.

Областью определения каждой функции является круг  с центром в начале координат радиуса 2 (проекция полусфер на плоскость ).

Неравенство  определяет шар с центром в начале координат радиуса 2. Подставим координаты точек  в данное неравенство:

1)

Получено неверное неравенство, следовательно, точка «дэ» лежит вне шара.

2)

Получено верное неравенство, значит, точка «эф» принадлежит шару, а конкретнее – его границе (сфере).

Материал о сферах и шарах достаточно прост, и я предлагаю вам чисто символическое задание для самостоятельного решения:

Пример 15

Найти область определения функции двух переменных  и построить соответствующую поверхность.

Краткое решение и чертёж в конце урока.

Кстати, наша планета, кто не знает, чуть-чуть, но таки не шар.


Коническая поверхность

Каноническое уравнение  в декартовых координатах задаёт коническую поверхность 2-го порядка или, если короче, конус. Но это опять же не совсем тот конический колпак, который всем знаком со времён далёкого детства.

Форму многих поверхностей удобно исследовать методом сечений, который я потихоньку начал использовать ещё в предыдущих параграфах. Суть метода состоит в том, что мы «рассекаем пациентов» плоскостями  (прежде всего, координатными), и получившиеся сечения позволяют нам хорошо понять, как выглядит та или иная поверхность.

Перепишем уравнение в виде  и исследуем сечения конуса плоскостями , параллельными плоскости . Подставим  в уравнение конической поверхности:

Очевидно, что случаю  соответствует уравнение , задающее пару мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой пересечения в начале координат. Данная точка называется вершиной конуса.

Если же , то уравнение  задаёт эллипсы различных размеров, причём из последнего уравнения хорошо видно, что с увеличением абсолютных значений «цэ большого» полуоси эллипсов неограниченно возрастают. Таким образом, коническая поверхность бесконечна:
Коническая поверхность
Если коническую поверхность «разрезать» произвольной плоскостью (которая проходит через ось ), то в сечении получатся две пересекающиеся в начале координат прямые. Множество таких сечений, собственно, и образует коническую поверхность.
И логично, что каждая из этих прямых называется образующей конуса. 

На практике почти всегда приходится иметь дело с конусом вращения, в котором сечения плоскостями  представляют собой окружности. И во многих практических задачах типичен следующий «опознавательный» вид уравнения:
 – с «зет» в левой части и равными коэффициенты при  и .

Как многие догадались,  функция  задаёт верхнюю часть конуса, а функция  – его нижнюю часть.

Распространённая вариация по теме:

Пример 16

Построить поверхность

Решение: уравнение имеет вид  и определяет половину конуса, располагающуюся в верхнем полупространстве. Вершина конической поверхности, понятно, расположена в начале координат, но как построить всё остальное?

Возведём обе части исходного уравнения в квадрат:

Далее выберем небольшое положительное значение «зет», например , и найдём линию пересечения этой плоскости с нашей поверхностью:
 – окружность радиуса .

Пояснение на всякий случай:  подставили в 1-е уравнение

Теперь на высоте  изобразим окружность  и аккуратно проведём 4 образующие конуса:
Конус расположен в верхнем полупространстве
Образующие, в принципе, можно было продолжить и выше плоскости .

Не забываем, что уравнение  задаёт только верхнюю часть поверхности и поэтому никаких «хвостиков» в нижнем полупространстве быть не должно.

Пожалуй, простейшая коническая поверхность:

Пример 17

Построить коническую поверхность .  Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть конуса.

В образце решения изображён фрагмент конуса, расположенный между плоскостями . Ну, а с неравенствами, думаю, сообразите самостоятельно. В случае мучительных сомнений всегда можно взять точку (внутри или снаружи конуса) и проверить, удовлетворяют ли её координаты неравенству.

В заключение статьи подробно рассмотрим ещё одну мегапопулярную поверхность:


Эллиптический параболоид

Каноничный эллиптический параболоид в прямоугольной системе задаётся уравнением . Данная поверхность выглядит бесконечной чашей:
Эллиптический параболоид
Название «эллиптический параболоид» тоже произошло из результатов исследования сечений. В горизонтальных сечениях плоскостями  получаются различные эллипсы:
, в частности, при   эллипс вырождается в точку (начало координат), которая называется вершиной эллиптического параболоида.

А вертикальные сечения плоскостями, параллельными оси , представляют собой различные параболы. Например, сечение координатной плоскостью :
 – парабола, лежащая в плоскости .
Или сечение плоскостью :
 – парабола, лежащая в плоскости .

Отсюда и эллиптический параболоид.

На практике обычно встречается упрощенная версия поверхности с горизонтальными сечениями-окружностями. Перепишем каноническое уравнение в прикладном функциональном виде:
 – характерным признаком функции, как и в ситуации с конусом, является равенство коэффициентов при .

Пример 18

Построить поверхность .  Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть эллиптического параболоида.

Решение: используем ту же методику, что и при построении конической поверхности. Рассмотрим какое-нибудь не очень большое значение «зет», здесь удобно выбрать , и найдём сечение эллиптического параболоида этой плоскостью:
 – окружность радиуса 2.

Теперь на высоте  изобразим данную окружность и аккуратно соединим её с вершиной (началом координат) двумя параболами. В результате получится  такая вот симпатичная чашка:
Простейший пример эллиптического параболоида
Рассматриваемый частный случай параболоида с горизонтальными сечениями-окружностями также называют параболоидом вращения, поскольку его можно получить вращением параболы вокруг оси

С неравенствами ничего нового. Нетрудно догадаться, что неравенство  или, если развернуть запись в более привычном порядке,   определяет множество точек внутри чаши (т.к. неравенство строгое, то сама поверхность не входит в решение). И, соответственно, неравенство  задаёт множество внешних точек.

По моим наблюдениям, на практике часто встречается эллиптический параболоид вида , который выглядит точно так же, но мигрировал вершиной в точку . Именно такую поверхность мы исследовали с помощью линий уровня в Примере №14 первого урока темы.

Ещё один типичное расположение эллиптического параболоида:

Пример 19

Построить поверхность

Решение: если коэффициенты при  отрицательны (сразу оба), то чаша параболоида «смотрит вниз». Вершина поверхности расположена в точке . Это понятно не только интуитивно, но и подкрепляется простым аналитическим рассуждением: очевидно, что рассмотрев любую другую пару значений  мы уменьшим функцию . Таким образом, в точке  достигается максимум функции двух переменных.

В целях построения поверхность удобно «отсечь» плоскостью . Сечение представляет собой:
 – окружность радиуса 2.

Выполним чертёж:
Чаша эллиптического параболоида направлена вниз
Готово.

Заключительное задание для самостоятельного решения:

Пример 20

Построить эллиптический параболоид

Чертёж в конце урока, который приблизился к своему завершению.

Среди поверхностей 2-го порядка за кадром остались редко встречающиеся на практике:

( ниже перечислены канонические уравнения, в которых  – положительные числа)

 – гиперболический параболоид («седло»);

 – однополостной гиперболоид;

 – двуполостной гиперболоид.

Более подробную информацию об этих поверхностях можно почерпнуть в учебнике аналитической геометрии либо другом источнике информации, в частности, в Википедии, на которую проставлены ссылки. Если возникнет необходимость выполнить их построение – используйте метод сечений, он действительно прост и эффективен!

Я бы с радостью всё рассказал, но, во-первых, это нецелесообразно с практической точки зрения, а во-вторых, размер статьи подходит к той опасной грани, после которой посетители сайта будут считать автора не только фанатом, но и начнут всерьёз опасаться за его здоровье. Впрочем, санитары разрешили мне ещё немного посидеть за компьютером =)

А если серьёзно, то этой статьи я опасался чуть ли не с первых дней создания сайта ввиду большого объема работы. Но вот, наконец, клуб любителей функций двух переменных широко распахнул двери, и теперь-то уж мы с вами оттянемся в полный рост =)

Обязательно приходите!

Решения и чертежи:

Пример 1: Решение: выполним чертёж:
Прямоугольный параллелепипед
Данное тело определяется системой

Пример 3: Решение: а) Сначала удобно построить прямую , лежащую в плоскости . Используем начало координат, и, например, точку .  б) Сначала удобно построить прямую , лежащую в плоскости . Используем начало координат, и, например, точку .
Плоскости, проходящая через ось абсцисс и ось аппликат

Пример 6: Решение: запишем уравнение плоскости в отрезках:

Выполним чертёж:
Уравнение плоскости в отрезках и её графическое изображение

Пример 10: Решение: функция  задаёт верхнюю часть цилиндра :
Половина цилиндрической поверхности
Проекция на плоскость : часть данной плоскости, ограниченная «плоскими» прямыми  (включая прямые).
Проекция на плоскость : часть данной плоскости, ограниченная прямыми  ( – любое), включая сами прямые.
Проекция на плоскость :  полуокружность

Пример 12: Чертежи:
Параболические цилиндры, расположенные вдоль осей OX, OY

Пример 13: Решение: данный эллипсоид получен вращением эллипса  (плоскость ) вокруг оси :
Эллипсоид вращения
Примечание: также можно считать, что вращается эллипс , лежащий в плоскости .

Пример 15: Решение: областью определения данной функции является круг  с центром в начале координат радиуса . Функция  задаёт полусферу, лежащую в верхнем полупространстве, с центром в начале координат радиуса :
Полусфера

Пример 17: Решение: сечения конуса плоскостями  представляют собой окружности . Выполним чертёж:
Фрагмент конической поверхности
Неравенство  задаёт множество точек, находящихся внутри конуса; неравенство  задаёт множество внешних точек.

Пример 20: Решение: вершина параболоида находится в точке . Выполним чертёж:
Я очень рад, что Вы добрались до этого чертежа =)

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено