Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Книги по математике
Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать несобственный
интеграл на сходимость?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ


По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Онлайн курсы для всех!



  Карта сайта



4. Мода. Медиана. Генеральная и выборочная средняя


Мода на экране, медиана в треугольнике, а средние – это температура по больнице и в палате. Продолжаем наш практический курс занимательной статистики (Занятие 1) изучением центральных характеристик статистической совокупности, названия которых вы видите в заголовке. И начнём мы с его конца, поскольку о средних величинах речь зашла практически с первых же абзацев темы. Для подготовленных читателей оглавление:

ну а «чайникам» лучше ознакомиться с материалом по порядку:

Итак, пусть исследуется некоторая генеральная совокупность объёма , а именно её числовая характеристика , не важно, дискретная или непрерывная (Занятия 2, 3).

Генеральной средней называется среднее арифметическое всех значений этой совокупности:

Если среди чисел  есть одинаковые (что характерно для дискретного ряда), то формулу можно записать в более компактном виде:
, где
варианта  повторяется  раз;
варианта  –  раз;
варианта  –  раз;

варианта  –  раз.

Живой пример вычисления генеральной средней встретился в Примере 2, но чтобы не занудничать, я даже не буду напоминать его содержание.

Далее. Как мы помним, обработка всей генеральной совокупности часто затруднена либо невозможна, и поэтому из неё организуют представительную выборку объема , и на основании исследования этой выборки делают вывод обо всей совокупности.

Выборочной средней называется среднее арифметическое всех значений выборки:

и при наличии одинаковых вариант формула запишется компактнее:
 – как сумма произведений вариант  на соответствующие частоты .

Выборочная средняя  позволяет достаточно точно оценить истинное значение , чего вполне достаточно для многих исследований. При этом, чем больше выборка, тем точнее будет эта оценка.

Практику начнём, а точнее продолжим, с дискретного вариационного ряда и знакомого условия:

Пример 8

По результатам выборочного исследования  рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

Это числа из Примера 4 (см. по ссылке выше), но теперь нам требуется: вычислить выборочную среднюю, и, не отходя от станка, найти моду и медиану.

Как решать задачу? Если нам даны первичные данные (исходные необработанные значения), то их можно тупо просуммировать и разделить результат на объём выборки:
– среднестатистический квалификационный разряд рабочих цеха.

Но во многих задачах требуется составить вариационный ряд (см. Пример 4):

– или же этот ряд предложен изначально (что бывает чаще). И тогда, мы, конечно, используем «цивилизованную» формулу:

Далее. Мода и медиана. Эти понятия тоже вводятся как для генеральной, так и для выборочной совокупности, и определения я сформулирую в общем виде.

Мода. Мода  дискретного вариационного ряда – это варианта с максимальной частотой. В данном случае . Моду легко отыскать по таблице, и ещё легче на полигоне частот – это абсцисса самой высокой точки:

Иногда таковых значений несколько (с одинаковой максимальной частотой), и тогда модой считают каждое из них.

Если все или почти все варианты различны (что характерно для интервального ряда), то модальное значение определяется несколько другим способом, о котором во 2-й части урока.

Медиана. Медиана  вариационного ряда* – это значение, которая делит его на две равные части (по количеству вариант).

* не важно, дискретного или интервального, генеральной совокупности или выборочной.

Медиану можно отыскать несколькими способами.

Если даны первичные данные, то сортируем их по возрастанию либо убыванию (см. Задание 1) и находим середину ранжированного ряда: . Почему именно 13-е число? Потому что перед ним находится 12 чисел и после него тоже 12 чисел, таким образом, значение  разделило ряд на две равные части, а значит, является медианой. Этот номер можно найти аналитически:

– если совокупность содержит нечётное количество чисел (наш случай), то делим её объём пополам:  и округляем полученное значение в бОльшую сторону: 13 – получая тем самым срединный номер.

– если совокупность содержит чётное количество чисел, например, 20, то делаем то же самое: , и медианное значение здесь рассчитывается как среднее арифметическое 10-го и следующего числа: .

Напоминаю, что изложенная инструкция работает для упорядоченного (по возрастанию либо убыванию) ряда. Но есть и более быстрый путь, где ничего не нужно сортировать. Это использование стандартной функции Экселя:

– забиваем в любую свободную ячейку =МЕДИАНА(, выделяем мышью все числа, закрываем скобку ) и жмём Enter. Попробуйте самостоятельно. Этот способ удобен, когда вам дано много значений.

Следует отметить, что в Экселе существуют и отдельные функции для вычисления средней (=СРЗНАЧ), моды (=МОДА) и ещё много чего, но я против использования этих функций в учебном курсе, за исключением случаев, где это действительно целесообразно. …Почему против? Потому что они не помогают понять суть показателей и, более того, отупляют. Так, среднюю гораздо вразумительнее рассчитывать следующим образом:

=СУММ(выделяем мышью диапазон) / объем совокупности. Вычисления рекомендую опробовать лично (ссылка выше).

Ситуация вторая. Когда составлен либо изначально дан готовый дискретный ряд. Тут можно поступить «по любительски» – начать отсчитывать примерно равное количество чисел по краям ряда:

после чего мысленно либо на черновике их отбрасывать, в данном случае отбросим по 8 штук сверху и снизу:

откуда становится ясно, что медианное значение:

Второй способ более академичен, находим относительные накопленные частоты:

и то значение «икса», у которого  «переваливает» за отметку 0,5 (50% упорядоченной совокупности). Для 3-го разряда успело накопиться  (32% совокупности), а вот для 4-го – уже  (64%). Таким образом, отметка в 50% пройдена именно здесь, и, стало быть, .

Запишем красивый ответ:

Полученные значения близки друг к другу, и это говорит о симметрии вариационного ряда относительно центра, что хорошо видно по полигону частот (см. чертёж выше). И с высокой вероятностью можно утверждать, что примерно так же распределена и вся генеральная совокупность (все рабочие цеха).

И тут возникает следующий закономерный вопрос: а зачем вообще нужна мода с медианой? – ведь есть средняя.

А дело в том, что в ряде случаев среднее значение неудовлетворительно характеризует центральную тенденцию статистической совокупности:

Пример 9

Известны результаты продаж пиджаков в универмаге города:

где,  – количество пуговиц на пиджаке,  – число продаж, буква «эф» – это тоже достаточно популярная буква для обозначения частот, и она не должна вас смущать при встрече.

…ну, а если вам не нравятся пиджаки, то представьте какие-нибудь шляпки с цветочками :)

Также обратим внимание, что в условии задачи ничего не сказано о том, генеральная ли это совокупность или выборочная, и в подобной ситуации я не рекомендую ничего додумыватьсреднюю просто обозначаем через , без подстрочного индекса.

Задание 4

Вычислить среднюю – в экселевском файле уже забиты исходные данные и приведена краткая инструкция. Если под пальцами нет Экселя, то считаем на калькуляторе. Не ленимся! – заданий я предлагаю немного (у вас своих хватает :)), но прорешать их очень важно! Краткое решение для сверки в конце урока.

…какие мысли на счёт полученного значения ? С такой статистикой магазин разорится.

И, конечно, важнейший показатель здесь мода: . Потому что такая мода :) Более того, в прикладных исследованиях рассматривают несколько модальных значений (вроде даже в Экселе функция есть), в частности, ещё одной модой можно считать варианту . Но это уже попсовая статистика, которую я не буду развивать в этом курсе.

Ещё хуже (в содержательном плане) ситуация с медианой – продолжаем решать задачу в Экселе (ссылка выше) либо в тетради! Особо зоркие читатели медиану углядят и устно, и в конце урока я привёл способ, который просто бросился мне в глаза.

Теперь надеваем пиджаки / шляпы и возвращаемся на фабрику, где бухгалтер Петрова вычислила генеральную среднюю заработную плату рабочих:  денежных единиц. Здесь мы плавно перешли к интервальному ряду, который целесообразно составлять для «денежных» показателей.

Что будет, если к совокупности добавить руководящий персонал и директора Петрова? Средняя зарплата немного увеличится: , и это уже будет несколько искажённая картина.

А вот если сюда добавить олигарха Петровского, то полученная средняя  не только дезинформирует, но и вызовет широкое возмущение общественности.

Поэтому, если в статистической совокупности если «аномальные» отклонения в ту или иную сторону, то в качестве оценки центрального значения как нельзя лучше подходит медиана, которая в нашем условном примере будет равна, скажем, . Ниже этой планки зарабатывает ровно половина совокупности и выше – другая половина, включая Петрова и Петровского. …Главное только, чтобы они наняли правильного статистика :)

Как вычислить моду, медиану и среднюю интервального ряда?

Начнём опять с ситуации, когда нам даны первичные статические данные:

Пример 10

По результатам выборочного исследования цен на ботинки в магазинах города получены следующие данные (ден. ед.):

– это в точности числа из Примера 6 статьи об интервальном вариационном ряде.

Но теперь нам нужно найти среднюю, моду и медиану.

Решение: чтобы найти среднюю по первичным данным, лучше всего просуммировать все варианты и разделить полученный результат на объём совокупности:
 ден. ед.

Эти подсчёты, кстати, займут не так много времени и при использовании оффлайн калькулятора. Но если есть Эксель, то, конечно, забиваем в любую свободную ячейку =СУММ(, выделяем мышкой все числа, закрываем скобку ), ставим знак деления /, вводим число 30 и жмём Enter. Готово.

Что касается моды, то её оценка по исходным данным, становится непригодна. Хоть мы и видим среди чисел одинаковые, но среди них запросто может найтись пять так шесть-семь вариант с одинаковой максимальной частотой, например, частотой 2. Кроме того, цены могут быть округлёнными. Поэтому модальное значение рассчитывается по сформированному интервальному ряду (о чём чуть позже).

Чего не скажешь о медиане: забиваем в Эксель  =МЕДИАНА(, выделяем мышью все числа, закрываем скобку ) и жмём Enter: . Причём, здесь даже ничего не нужно сортировать.

Но в Примере 6 была проведена сортировка по возрастанию (вспоминаем и сортируем – ссылка выше), и это хорошая возможность повторить формальный алгоритм отыскания медианы. Делим объём выборки пополам:

, и поскольку она состоит из чётного количества вариант, то медиана равна среднему арифметическому 15-й и 16-й варианты упорядоченного (!) вариационного ряда:

 ден. ед.

Ситуация вторая. Когда дан готовый интервальный ряд (типичная учебная задача).

Продолжаем анализировать тот же пример с ботинками, где по исходным данным был составлен ИВР. Для вычисления средней потребуются середины  интервалов:

– чтобы воспользоваться знакомой формулой дискретного случая:

 – отличный результат! Расхождение с более точным значением (), вычисленным по первичным данным, составляет всего 0,04.

По сути дела, здесь мы приблизили интервальный ряд дискретным, и это приближение оказалось весьма эффективным. Впрочем, особой выгоды тут нет, т.к. при современном программном обеспечении не составляет труда вычислить точное значение даже по очень большому массиву первичных данных. Но это при условии, что они нам известны :)

С другими центральными показателями всё занятнее.

Чтобы найти моду, нужно найти модальный интервал (с максимальной частотой) – в данной задаче это интервал  с частотой 11, и воспользоваться следующей страшненькой формулой:
, где:

 – нижняя граница модального интервала;
 – длина модального интервала;
 – частота модального интервала;
 – частота предыдущего интервала;
 – частота следующего интервала.

Таким образом:
 ден. ед. – как видите, «модная» цена на ботинки заметно отличается от средней арифметической .

Не вдаваясь в геометрию формулы, просто приведу гистограмму относительных частот и отмечу :

откуда хорошо видно, что мода смещена относительно центра модального интервала в сторону левого интервала с бОльшей частотой. Логично.

Справочно разберу редкие случаи:

– если модальный интервал крайний, то  либо ;

– если обнаружатся 2 модальных интервала, которые находятся рядом, например,  и , то рассматриваем модальный интервал , при этом близлежащие интервалы (слева и справа) по возможности тоже укрупняем в 2 раза.

– если между модальными интервалами есть расстояние, то применяем формулу к каждому интервалу, получая тем самым 2 или бОльшее количество мод.

Вот такой вот депеш мод :)

И медиана. Если дан готовый интервальный ряд, то медиана рассчитывается чуть по менее страшной формуле, но сначала нудно (описка по Фрейду:)) найти медианный интервал – это интервал, содержащий варианту (либо 2 варианты), которая делит вариационный ряд на две равные части.

Выше я рассказал, как определить медиану, ориентируясь на относительные накопленные частоты ,  здесь же сподручнее рассчитать «обычные» накопленные частоты . Вычислительный алгоритм точно такой же – первое значение сносим слева (красная стрелка), и каждое следующее получается как сумма предыдущего с текущей частотой из левого столбца (зелёные обозначения в качестве примера):

Всем понятен смысл чисел в правом столбце? – это количество вариант, которые успели «накопиться» на всех «пройденных» интервалах, включая текущий.

Поскольку у нас чётное количество вариант (30 штук), то медианным будет тот интервал, который содержит 30/2 = 15-ю и 16-ю варианту. И ориентируясь по накопленным частотам, легко прийти к выводу, что эти варианты содержатся в интервале .

Формула медианы:
, где:
 – объём статистической совокупности;
 – нижняя граница медианного интервала;
 – длина медианного интервала;
 – частота медианного интервала;
 – накопленная частота предыдущего интервала.

Таким образом:
 ден. ед. – заметим, что медианное значение, наоборот, оказалось смещено правее, т.к. по правую руку находится значительное количество вариант:

И справочно особые случаи:

– Если медианным является крайний левый интервал, то ;

– Если вариационный ряд содержит чётное количество вариант и две средние варианты попали в разные интервалы, то объединяем эти интервалы, и по возможности удваиваем предыдущий интервал

Ответ:  ден. ед.

Здесь центральные показатели оказались заметно отличны друг от друга, и это говорит об асимметрии распределения, которая хорошо видна по гистограмме.

И задача для тренировки:

Пример 11

Для изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена выборка, в результате которой получено следующее статистическое распределение:

…да, тематичная у меня получилась статья :)

Найти среднюю, моду и медиану.

Это, кстати, уже каноничная «интервальная» задача, в которой исследуется непрерывная величина – время.

Задание 5

Решаем эту задачу в Экселе – все числа и инструкции уже там. Если нет Экселя, считаем на калькуляторе, что в данном случае может оказаться даже удобнее. Образец решения, как обычно, в конце урока, который подошёл к концу.

И я жду вас на пятом занятии, которое посвящено показателям вариации.

Решения и ответы:

Пример 9. Решение: заполним расчётную таблицу:

Вычислим среднюю:
 – две с половиной пуговицы, Карл!
По правому столбцу определяем «иксовое» значение, которое делит совокупность на 2 равные части: (именно здесь накопленная частота «перевалила» за 0,5).

Кроме того, медиану легко усмотреть и устно – поскольку половина совокупности равна , а сумма первых двух частот , то совершенно понятно, что 250-й и 251-й пиджак – двухпуговичные.

Пример 11. Решение: поскольку длина внутренних интервалов равна , то длины крайних интервалов полагаем такими же (см. конец статьи Интервальный вариационный ряд). Заполним расчётную таблицу:

Вычислим выборочную среднюю:
 мин.

Моду вычислим по формуле , в данном случае:
 – нижняя граница модального интервала;
 – длина модального интервала;
 – частота модального интервала;
 – частота предшествующего интервала;
 – частота следующего интервала.
Таким образом:
 мин.

Анализируя накопленные частоты, приходим к выводу, что медианным является интервал  (именно он содержит 50-ю и 51-ю варианты, которые делят ряд пополам).
Медиану вычислим по формуле , в данном случае:
 – нижняя граница медианного интервала;
 – длина этого интервала;
 – объём статистической совокупности;
 – частота медианного интервала;
 – накопленная частота предыдущего интервала.
Таким образом:
 мин.

Ответ: среднее время изготовления детали характеризуется следующими центральными характеристиками:

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2018. Копирование материалов сайта запрещено