Как найти функцию комплексной переменной
по известной действительной или мнимой части?
Рассмотрим еще одну распространенную задачу комплексного анализа: нахождение функции комплексной переменной по известной действительной или мнимой части. Для её освоения необходимо ознакомиться с заданиями урока функция комплексной переменной, где были даны азы темы, поэтому если вы только начинаете разбираться с комплексными функциями, то начните с вышеуказанной статьи.
Сначала вернёмся к задаче предыдущего урока: дана функция комплексной переменной . Требуется найти действительную и мнимую части функции и проверить условия Коши-Римана. Найти производную . Ну, или производную в точке, фантазия математических злодеев здесь бедновата.
Коротко повторим алгоритм решения данной задачи: на первом этапе следует выполнить подстановку . Сразу же напоминаю две наиболее ходовые формулы:
В результате функция комплексной переменной должна быть представлена в виде:
Далее идёт проверка условий Коши-Римана. По сути, необходимо найти четыре частных производных и убедиться в справедливости равенств:
В практических примерах условия Коши-Римана выполняются в 99,9% случаев, а значит, с лёгким сердцем можно взять производную .
Зачем я всё это повторил заново? Дело в том, что сейчас нам предстоит рассмотреть обратную задачу, которая формулируется примерно так:
Дана действительная часть функции комплексной переменной . Требуется найти мнимую часть функции. Найти саму функцию , используя некоторое начальное условие.
Алгоритм решения будет раскручиваться в обратном направлении:
1) Используя условия Коши-Римана, находим мнимую часть . Очень хорошо, если вы разобрались с дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах, так как хитросплетения первого этапа будут точно такими же, как в тех диффурах.
2) Теперь и действительная и мнимая части известны, поэтому составляем функцию . Дальнейшие действия будут направлены на то, чтобы все «иксы» и «игреки» превратить в «зеты». В частности, наиболее распространенные формулы будут работать в обратном направлении:
То есть, из каши с помощью раскрытия скобок, перегруппировки слагаемых и т.д. следует выуживать жирные куски масла. Например, составить выражение и превратить его в .
3) На завершающем этапе будет получена функция , в которой есть только комплексная переменная «зет» и константы. Используя начальное условие, окончательно уточняем функцию . Действие несложное, более подробно вернёмся к нему в практических примерах.
Многие догадались, что существует и зеркальная задача: когда по условию дана мнимая часть , а требуется найти действительную часть . Алгоритм решения практически тот же самый – с помощью условий Коши-Римана находим действительную часть , и понеслась нелёгкая.
Обе задачи встречаются одинаково часто, и я постараюсь максимально детально разобрать оба случая.
Пример 1
Дана действительная часть функции комплексной переменной. Найти мнимую часть данной функции и составить функцию , удовлетворяющую начальному условию .
Решение:
1) Сначала найдем мнимую часть функции . В распоряжении у нас есть действительная часть. А что с неё взять, кроме частных производных?
Вспоминаем условия Коши-Римана:
В целях решения данной задачи равенства удобнее переписать в другом порядке:
В соответствии с первым условием:
В соответствии со вторым условием:
– обратите внимание на смену знака.
В результате у нас протянулся мостик в виде двух частных производных к неизвестной мнимой части:
Следующий этап полностью совпадает с решением дифференциального уравнения в полных дифференциалах, то есть по двум частным производным необходимо восстановить общий интеграл (мнимую часть). Не сильно хочется, но хотя бы один раз вновь всё пропишу подробно:
– работаем с этой производной;
– про эту производную пока забываем.
Поскольку , то общий интеграл восстанавливаем частным интегрированием по «игрек»:
, где неизвестная функция, зависящая только от «икс».
Напоминаю, что при частном интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому можно вынести за знак интеграла. Для самопроверки всегда полезно найти частную производную: (функция зависит только от «икс», поэтому её производная по «игрек» равна нулю).
Теперь от нашей недоделанной мнимой части берём частную производную по «икс»:
– и результат приравниваем к «забытой» частной производной:
После взаимоуничтожения членов получаем:
Восстанавливаем функцию интегрированием:
Подставляем найденную функцию в недоделанную мнимую часть . В итоге, после всех манипуляций:
– мнимая часть функции
2) Действие второе. Найдем функцию :
(1) Подставляем действительную часть , которая была дана в условии и найденную мнимую часть .
(2) Раскрываем скобки.
(3) Выполняем перегруппировку слагаемых, для удобства я заключил их в скобки. В целях перегруппировки нужно проанализировать, что в ближайшей перспективе может получиться? Так, например, смотрим на слагаемое , и в голову приходит мысль, что тут будет фигурировать формула , поэтому, и собираем вместе слагаемые, которые очевидно будут относиться к данной формуле.
(4) Проводим вынесение за скобки некоторых множителей, учитывая, что в нашей функции всё дело явно сведётся к двум формулам: .
При этом всегда можно сделать проверку, раскрыв скобки, например:
.
(5) Используя две вышеуказанные формулы, получаем функцию
Обратите внимание, что в функции присутствует только комплексная переменная «зет» и константы. Если остался какой-нибудь мусор с «иксами», «игреками», значит, вы допустили ошибку где-то выше.
3) Третий этап короткий. Найдём значение константы . В соответствии с начальным условием :
В соответствии с условием в ответе следует записать мнимую часть и саму функцию, естественно, с учётом найденного значения константы :
Ответ: ,
Да, конечно, задача не из самых элементарных, но с другой стороны, весьма логично – конструировать гораздо труднее, чем разрушать. По этой причине несложно сделать проверку:
Сначала проверяем выполнение начального условия :
– начальное условие выполнено.
Второй этап проверки – представить найденную функцию в виде , иными словами, в точности решить задачу, которая подробно разобрана на уроке функция комплексной переменной.
Творческий пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Дана действительная часть функции комплексной переменной. Найти мнимую часть данной функции и составить функцию , удовлетворяющую начальному условию .
Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.
Не отходя от кассы, рассмотрим зеркальную задачу, когда известна мнимая часть функции. Алгоритм, как уже упоминалось, будет очень похожим:
Пример 3
Дана мнимая часть функции комплексной переменной. Найти действительную часть и функцию , удовлетворяющую начальному условию .
Решение:
1) Найдем действительную часть функции .
Так как , то:
Согласно условиям Коши-Римана:
– работаем с этой производной.
– про эту пока забываем.
Примечание: в отличие от Примеров 1,2 условия Коши-Римана применяются в «обычном» виде, то есть переписывать их в другом порядке – не нужно.
Также напоминаю, что без разницы, с какой производной начинать. Можно было «забыть» о первой производной, а пляску начинать со второй – получилось бы совершенно равноценное решение. Впрочем, этот момент хорошо показан в статье Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Едем дальше:
Поскольку , то действительная часть восстанавливается частным интегрированием по «икс». А если интегрируем по «икс», то «игрек» считается константой:
, где – неизвестная функция, зависящая только от «игрек».
Для проверки можно мысленно или на черновике найти частную производную:
, что и требовалось проверить.
Берём недоделанную действительную часть и находим частную производную по «игрек»:
– результат приравниваем к «забытой» частной производной:
Таким образом, после упрощений:
Интегрированием восстанавливаем функцию :
В результате:
– действительная часть функции .
2) Найдем функцию :
(1) Подставляем мнимую часть и найденную действительную часть.
(2) Раскрываем скобки.
(3) Снова выполняем перегруппировку слагаемых. Анализируя слагаемые, видим, что среди них есть слагаемые с кубами, а значит, дело сведётся к формуле . Поэтому в первой скобке группируем слагаемые, которые явно относятся к данной формуле. Аналогично – замечаем среди слагаемых слагаемые с квадратами, и во второй скобке группируем слагаемые, чтобы далее воспользоваться формулой .
(4) Проводим вынесение за скобки множителей, чтобы внутри осталось, то, что нужно. При этом полезно мысленно или черновике сделать проверку, раскрыв скобки и .
(5) Запаковываем функцию.
В итоге получена функция , в которой присутствует только комплексная переменная «зет» и константы.
3) В соответствии с начальным условием :
Ответ: ,
Готово. Примеры с кубами встречаются достаточно часто, поэтому два примера для самостоятельного решения:
Пример 4
Дана мнимая часть функции комплексной переменной. Найти действительную часть и искомую функцию , удовлетворяющую начальному условию .
Этот пример можно решить по шаблону только что разобранного примера. Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Пример 5
Для заданной функции найти сопряженную функцию и функцию при известном значении .
Для полного счастья пример, где дана действительная часть , здесь целесообразно придерживаться алгоритма Примеров № 1-2. Единственное отличие будет состоять в том, что появится «зет» в кубе.
Также обратите внимание на формулировку условия, она немного другая, но не меняет смысла задачи. Полное решение и ответ в конце урока.
В большинстве случаев вам встретится что-нибудь из уже рассмотренных заданий с квадратами да кубами, но время от времени попадаются более занятные примеры на формулы Эйлера, о которых шла речь в статье функция комплексной переменной. Вот они, вот они:
Коль скоро мы рассматриваем обратную задачу, то данные формулы тоже будут применяться в обратном направлении:
Еще два, причём, не самых простых примера из реальных контрольных работ студентов:
Пример 6
Для заданной функции найти сопряженную функцию и функцию при заданном начальном условии.
Решение: Первый пункт алгоритма обкатан и стандартен:
1) Найдем мнимую часть функции .
Так как , то:
В соответствии с условиями Коши-Римана (а когда дана действительная часть, их нужно сначала переписать в другом виде – см. Примеры № 1, 2):
– работаем с этой производной;
– про эту производную пока забываем.
Поскольку , то:
Найдём частную производную по «икс»:
– результат приравниваем к «забытой» частной производной:
Ликвидируем противоположные члены и восстанавливаем функцию :
В результате:
– мнимая часть функции
2) Второй пункт будет куда веселее. Составим функцию :
(1) Подставляем действительную и мнимую части.
(2) Раскрываем скобки.
(3) Выполняем перегруппировку слагаемых, при этом выносим за скобку.
(4) В скобках необходимо организовать конструкцию , чтобы воспользоваться формулой Эйлера. Немного подумав, догадываемся, что нужно вынести за скобку мнимую единицу.
(5) Используем формулу Эйлера , при этом
(6) По школьному правилу действий со степенями подводим экспоненты под единый показатель. Попутно в показателе раскрываем скобки
(7) В показателе экспоненты проводим окончательную упаковку:
В результате получена вполне симпатичная функция , в которой присутствуют только комплексная переменная «зет» и константы.
3) Найдём значение константы … кто-нибудь еще помнит об этом маленьком третьем этапе? =). В соответствии с начальным условием :
Таким образом:
Ответ: ,
Погорячился я со сложностью, на самом деле пример был довольно прост. Но ничего страшного, я привык исполнять обещания, держите:
Пример 7
Для заданной функции найти сопряженную функцию и функцию при заданном начальном условии.
В предложенном примере дана мнимая часть функции, поэтому придерживаемся алгоритма Примеров № 3, 4. Задание технически сложное, потребуются хорошие навыки нахождения частных производных, а на втором этапе нужно будет догадаться, как распутать клубок и применить формулу Эйлера. Однако пример взят из реальной контрольной работы студента заочного отделения. Полное решение и ответ в конце урока.
Но обратной задачи по этим формулам мне ни разу не встречалось. Тем не менее, я воодушевился предыдущим примером, на лице появилась добрая улыбка, а душа прям таки требует рассказать вам ещё какую-нибудь гадость. Поэтому в заключение разберу любопытный пример, который не так давно встретился в моей практике.
Пример 8
Восстановить функцию по известной мнимой части и значению .
Условие опять немного перефразировано.
Решение:
1) Найдем действительную часть функции .
Нарезаем частные производные от :
В соответствии с условиями Коши-Римана:
– работаем с этой производной;
– про эту пока забываем.
Если , то:
…и на этом этапе стандартного алгоритма я крепко задумался. Превратил мысленно «игреки» в константы, и пришёл к выводу, что интеграл, конечно, берётся…. Но является довольно сложным с неприятным и долгим решением. Кстати, похожие штуковины рассмотрены в статье Сложные интегралы.
Что делать? Есть другая возможность!
– про эту производную пока забываем;
– работаем с этой производной.
То есть, восстановление действительной части пытаемся начать с другой частной производной, вдруг интеграл проще получится?
Находим частную производную по «икс» от недоделанной действительной части:
Приравниваем результат к «забытой» частной производной:
Страшные дроби благополучно исчезли и:
Таким образом: – действительная часть функции .
2) Найдем функцию :
(1) Поставляем действительную и мнимую части.
(2) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому оформляем дроби под единым знаменателем.
(3) Раскладываем знаменатель на множители при помощи формулы разности квадратов: . Конечно, это не совсем очевидно, особенно для чайника. И для сомневающихся читателей выполню проверку:
(4) Сокращаем дробь на .
(5) Упаковываем функцию: .
Готово:
3) В соответствии с начальным условием:
Таким образом: – искомая функция.
Ответ: ,
Вот так вот иногда бывает. Казалось бы, такая простенькая функция , а сколько приключений! Никогда не нужно теряться – если дверь закрыта, пробуйте залезть в форточку! И не забывайте, я в доле =)
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: 1) Найдём мнимую часть . Частные производные от действительной части:
В соответствии с условиями Коши-Римана:
Поскольку , то:
Таким образом:
В результате: – мнимая часть функции 2) Найдем функцию :
3) В соответствии с начальным условием :
Ответ: ,
Пример 4: Решение: Найдем действительную часть функции . Так как , то:
В соответствии с условиями Коши-Римана: Поскольку , то:
Найдём частную производную по «игрек»: Таким образом:
В результате: – действительная часть функции . Найдем функцию :
В соответствии с начальным условием :
Ответ: ,
Пример 5: Решение: Найдем мнимую часть функции . Вычислим частные производные от :
В соответствии с условиями Коши-Римана:
Так как , то:
Таким образом:
В результате: – мнимая часть функции . Найдем функцию :
В соответствии с начальным условием: Ответ: , – искомая функция.
Пример 7: Решение: Найдем действительную часть функции . Так как , то:
В соответствии с условиями Коши-Римана: Поскольку , то:
Примечание: Интеграл берётся по частям. Найдём частную производную по «игрек»: Таким образом:
В результате: – действительная часть функции . Найдем функцию :