Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi


Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?
Повторяем школьный курс

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Как найти рациональные корни
многочлена? Схема Горнера

Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать сходимость
несобственного интеграла?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

ТФКП для начинающих
Как построить область
на комплексной плоскости?

Линии на С. Параметрически
заданные линии

Отображение линий и областей
с помощью функции w=f(z)

Предел функции комплексной
переменной. Примеры решений

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?

Уравнение линейной регрессии
Проверка значимости линейной
корреляционной модели

Модель пАрной регрессии.
Индекс детерминации

Нелинейная регрессия. Виды и
примеры решений

Коэффициент ранговой
корреляции Спирмена

Коэф-т корреляции Фехнера
Уравнение множественной
линейной регрессии

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом



  Карта сайта


Как решить неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка?


Данная статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков. Как я уже отмечал, для того чтобы научиться решать неоднородные уравнения вида , нужно уверенно щёлкать более простые однородные диффуры вида . Впрочем, они доступны даже для школьника, поскольку для решения однородного уравнения  требуется лишь правильно решить обычное квадратное уравнение, которое проходят, вроде, в 8 классе. Предполагаю, что вы уверенно расправляетесь с однородными уравнениями, если это не так, пожалуйста, посетите предыдущий урок.

Неоднородные уравнения – это просто!

А самых прилежных читателей в конце урока ждёт морковка подарок от Дедушки Мороза!

Как решить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами вида ?

Алгоритм решения неоднородного ДУ следующий:

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Да-да, взять уравнение , откинуть правую часть:  – и найти общее решение. Данная задача подробно разобрана на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Общее решение однородного уравнения я привык обозначать буквой .

2) Наиболее трудный этап. Необходимо найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.

Внимание! Для освоения метода подбора будет нужен методический материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Данную справку лучше по возможности распечатать, очень удобно, если она будет перед глазами. Но не спешите вникать в эти таблицы, если являетесь чайником! Всему свое время.

3) На третьем этапе надо составить общее решение   неоднородного уравнения. Это совсем легко: . Совершенно верно – следует просто приплюсовать завоёванные трофеи.

Если изначально в условии сформулирована задача Коши (найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям), то добавляется четвёртый этап:

4) Нахождение частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Порядок нахождения частного решение для уравнения второго порядка уже немного рассмотрен на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. В случае с неоднородным диффуром принципы нахождения частного решения сохраняются.

Примечание: В ваших лекциях, практических занятиях общее решение однородного уравнения  и подобранное частное решение неоднородного уравнения , скорее всего, обозначаются не так. Я «намертво» привык к обозначениям ,   и буду использовать именно их.

Не так всё страшно, переходим к практическим задачам.

Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:
1) Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур  и обнуляем правую часть:

Составим и решим характеристическое уравнение:

 – получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения

И вопрос, который вызывает затруднения чаще всего: В каком виде нужно искать частное решение ?

Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: . Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: , где  – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). Образно говоря, нужно посмотреть на правую часть неоднородного уравнения и «собезьянничать» её, но уже с неопределёнными коэффициентами. Вариант подбора, который «сразу приходит в голову», я неформально буду называть обычным, обыкновенным или штатным случаем.

После предварительного анализа смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: это различные действительные корни, отличные от нуля. В методическом материале Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? данному случаю соответствует Раздел I. Анализируя примеры № 1-4 справки, приходим к выводу, что, да, действительно – частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:

После правильно выбранного подбора алгоритм пойдёт по накатанной колее. Используем метод неопределенных коэффициентов. Кто не знаком – узнает.

Найдём первую и вторую производную:


Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:

(1) Раскрываем скобки.
(2) Ставим знак = и приписываем правую часть исходного ДУ.

Далее работаем с последним равенством – здесь нужно приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:

Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые:
, и только потом составлять систему.

В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно.

Подставляем найденные значения  в наш исходный подбор частного решения :

Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

Всё!

Ответ: общее решение:

Для неоднородных уравнений второго порядка я люблю проводить проверку-«лайт». Сначала я проверяю, правильно ли решил квадратное уравнение. После такой проверки первая часть ответа  (общее решение однородного уравнения) будет гарантировано правильной.

Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Это тоже довольно просто.
Найдем первую и вторую производную:

Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение  найдено правильно.

Существует и полный вариант проверки, о нём речь пойдет, когда я разберу задачу Коши.

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Выполнить проверку-«лайт». Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Будьте внимательны, пример «с подвохом»!

А поэтому повторим, по какой схеме подбирать частное решение:
– Смотрим на правую часть  и подбираем первоначальный «штатный» вид частного решения .
– Смотрим на корни характеристического уравнения и в справке Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? находим нужный раздел (всего их там пять).
– Знакомимся с разделом и уточняем, в каком же виде нужно искать частное решение .

Пример 3

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:


 
,  – получены различные действительные корни, среди которых нет нуля, поэтому общее решение: .

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение ?

Сначала смотрим на правую часть и выдвигаем первую гипотезу: раз в правой части находится экспонента, умноженная на константу , то частное решение, по идее, нужно искать в виде

Далее смотрим на корни характеристического уравнения , , найденные в предыдущем пункте. Это два действительных корня, среди которых нет нуля. Данному случаю соответствует Раздел I справочного материала. Изучив примеры 5-8 таблицы, приходим к выводу, что наш первоначальный вариант подбора нужно домножить на «икс». То есть частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде:
, где  – пока еще неизвестный коэффициент, который предстоит найти.

После того, как подобран корректный вид частного решения, алгоритм работает стандартно, единственное, вы должны уметь уверенно находить производные,  в частности, использовать правило дифференцирования произведения . В ходе вычислений я не буду подробно расписывать производные.

Найдем первую и вторую производную:

Подставим ,  и  в левую часть неоднородного уравнения:

Что сделано? Подстановка, упрощение, взаимоуничтожение слагаемых, и в конце – приравнивание к исходной правой части .

Здесь повезло: из последнего равенства  автоматически получаем .
Найденное значение  подставляем в наш исходный подбор .

Таким образом, частное решение:

3) Составляем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Подчеркиваю, что всегда полезно выполнить «быструю» проверку, проверив, по крайне мере, подобранное частное решение .

Думаю, что после трёх разобранных примеров вы уже понимаете, как и на каком этапе надо использовать справочный материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Теперь всем читателям, в том числе чайникам, рекомендую прочитать справку полностью.

Что произойдет, если мы неправильно подберём вид частного решения? Вот в только что разобранном примере мы искали частное решение в виде , а что будет, если попробовать искать частное решение в виде  или в каком-то другом виде? Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные , провести подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт: у нас не получится красивого финального равенства , грубо говоря, «ничего не сойдётся»:




Взаимоуничтожилось вообще ВСЁ! Совершенно понятно, что в конце нельзя приписать правую часть: .

Для закрепления материала пара примеров для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Пример 5

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Полные решения и ответы в конце урока.

Коши шепчет, что пора рассмотреть его задачу.

Пример 6

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавляется дополнительный пункт.

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:


 – получены кратные действительные корни, поэтому общее решение:

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение . Смотрим на правую часть неоднородного уравнения , и сразу появляется первая версия подбора: .

Далее смотрим на корни характеристического уравнения:  – действительные кратные корни. Изучая Раздел III, примеры 24-26 справочных материалов, приходим к выводу, что «очевидное» частное решение  нужно домножить на , то есть частное решение следует искать в виде:

Ищем неизвестный коэффициент .

Найдем первую и вторую производную:

Подставим ,  и  в левую часть неоднородного уравнения и максимально упростим выражение:

В самом конце после упрощений приписываем исходную правую часть .

Из последнего равенства  следует:
 
Таким образом: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,

Как уже отмечалось, порядок нахождения частного решения немного рассматривался на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Повторим.

Сначала берём найденное общее решение  и применяем к нему первое начальное условие :

Согласно начальному условию:  – получаем первое уравнение.

Далее находим производную от общего решения:
 и применяем к найденной производной второе начальное уравнение :

Согласно второму начальному условию:  – получаем второе уравнение.

Составим и решим систему:

Подставим найденные значения констант ,  в общее решение

Ответ: частное решение:

Выполним полную проверку:

Сначала проверяем, выполняется ли начальное условие :
 – да, начальное условие выполнено.

Находим производную от ответа:

Проверяем, выполняется ли второе начальное условие :
 – да, второе начальное условие тоже выполнено.

Берём вторую производную:

Подставим найденное решение  и его производные ,  в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, значит, задание выполнено правильно.

Аналогично можно выполнить полную проверку любого общего решения с той лишь разницей, что не нужно проверять выполнение начальных условий.

Что важно? Важно уметь хорошо дифференцировать и быть внимательным.

Пример 7

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Выполнить полную проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

И еще пара примеров, что-то синусов с косинусами маловато было.

Пример 8

Найти общее решение неоднородного уравнения

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:



 – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде:  
(при подборе не забываем посмотреть Раздел IV справочной таблицы).

Выясним, чему равны коэффициенты .

Найдем производные:

Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:

(после подстановки и максимальных упрощений приписываем правую часть: )

Из последнего равенства  составим и решим систему:

Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения я почленно вычел первое уравнение. Если метод не знаком или позабылся, смотрите урок Как решить систему линейных уравнений? Естественно, при решении системы не возбраняется применять «школьный» метод подстановки, другое дело, что в похожей ситуации это обычно не очень выгодно и удобно.

Таким образом, подобранное частное решение: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Пример 9

Найти общее решение неоднородного уравнения

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны при подборе частного решения ! Полное решение и ответ в конце урока.

В конце урока обещанные новогодние подарки. Что в новогодние праздники приносит Дедушка Мороз студентам? На этот вопрос ответ знаю только я. В Новый год Дедушка Мороз принесёт вам большой мешок неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. У меня их много.

На самом деле очень хотелось рассмотреть и другие диффуры, но таки статья должна укладываться в разумные размеры, чтобы Коши действительно не зашептал не обиделись поисковики, Яшенька, бедный, и так у нас очень глючный. Поэтому предлагаю для самостоятельного решения еще несколько уравнений, которые показались мне интересными, но не вошли в «основную сетку» урока.

Для следующих примеров полного решения не будет, будут только готовые ответы в конце урока. Но, даже из одних ответов вы сможете «вытащить» информацию, например, в каком же виде надо выполнить подбор частного решения. Среди предлагаемых ДУ есть как несложные диффуры, так и уравнения повышенной сложности.

Придерживайтесь алгоритма, будьте внимательны и успешного вам дифференцирования!

Пример 10

Найти общее решение неоднородного уравнения

Пример 11

Найти общее решение неоднородного уравнения

Пример 12

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Пример 13

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Пример 14

Найти общее решение неоднородного уравнения

Пример 15

Найти общее решение неоднородного уравнения

Должен сказать, что примеры № 13-15 достаточно сложны в техническом плане, при подборе частного решения появляются громоздкие производные, которые еще и нужно подставлять в левую часть уравнения. Но, как оптимист, предполагаю, что данные уравнения сможет решить не такой уж маленький процент студентов!

Однако и это ещё не все! По многочисленным просьбам я написал статью о линейных неоднородных ДУ высших порядков, где раскрыл дополнительные и очень полезные приёмы решения. В частности, за какую-то пару минут вы научитесь… вообще обходиться без справочной таблицы!!

К слову, о таблице. Наверное, многие, ознакомившись этим справочным материалом, заметили, что в правой части рассматривается ограниченный класс функций : многочлены, экспоненты, синусы, косинусы.

Как быть, если в правой части  находятся другие функции, например, тангенс или какая-нибудь дробь? И в таких случаях существует метод решения! Подбор не прокатывает, и приходится использовать очень мощный и универсальный метод вариации произвольных постоянных.

Вот это подарки, так подарки =)

Happy New Year!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

,  – различные действительные корни, один из которых равен нулю, поэтому общее решение:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  (см. Раздел II Справки!!!).
Найдем первую и вторую производную:


Подставим найденные производные в левую часть неоднородного уравнения:

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему. Из последнего равенства:


Таким образом:

3) Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Быстрая проверка: очевидно, что корни характеристического уравнения найдены правильно, поэтому с первой частью ответа  всё хорошо. Проверим, правильно ли подобрано частное решение . Найдем первую и вторую производную:


Подставим  и  в левую часть исходного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение  тоже  найдено правильно

Пример 4. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:



 – сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  (смотрим раздел IV справки).


Подставим , ,  в левую часть неоднородного уравнения:


Таким образом, частное решение:

3) Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Пример 5. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

 – сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  (смотрим раздел V справки).


Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему:

Таким образом: .

3) Запишем общее решение:

Ответ: общее решение:

Пример 7. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:



 – кратные действительные корни
Общее решение:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы).


Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:

Составим и решим систему:

В ходе решения данной системы использован метод почленного сложения уравнений системы, освежить материал можно на странице Как решить систему линейных уравнений?

Таким образом: .

3) Общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Ответ: частное решение:

Проверка: я 10+ лет назад уже выполнил полную проверку на черновике =) Как дела у вас?

Пример 9. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:

 – сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  (Смотрим Раздел V справочного материала).


Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:

Составим и решим систему:

Кстати, почему ?  Потому что в правой части отсутствует синус, формально правую часть можно было записать так:
Таким образом: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Пример 10.
Ответ: общее решение:

Пример 11.
Ответ: общее решение:

Пример 12.
Ответ: частное решение:

Пример 13.
Ответ: частное решение:

Пример 14.
Ответ: общее решение:

Пример 15.
Ответ: общее решение:

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?




© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено