Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi


Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

*-* Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать несобственный
интеграл на сходимость?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Онлайн курсы для всех!



  Карта сайта


15. Общая, групповые, внутригрупповая и межгрупповая дисперсия.
Правило сложения дисперсий


…из соображений гуманности сразу весь список :) Тема не самая простая, а точнее, кропотливая, но я научу вас БЫСТРО находить все перечисленные дисперсии, а также расскажу, что они означают и для чего нужны. Для освоения данного урока нужно понимать, что такое дисперсия и группировка данных (предыдущая статья) и уметь выполнять несложные расчёты. Впрочем, всё кратко повторим по ходу пьесы, и я немедленно начинаю разбирать материал:

Пример 59

По данным Примера 55 рассчитать общую, групповые, внутригрупповую и межгрупповую дисперсию

Напоминаю, что в той задаче нам были даны относительные показатели металлоёмкости  станков (т/кВт):

и по исходным данным мы сразу вычислили общую среднюю:
 т/кВт

Общая дисперсияпоказатель не новый, и её мы уже неоднократно рассчитывали ранее. Для этого нужно найти квадраты отклонений вариант от общей средней:

вычислить их сумму и разделить её на объём совокупности:

Вычисления удобно проводить в Экселе, и чуть позже будет ролик по этой теме, буквально минут за 5 разгромим всю задачу.

Общая дисперсия  характеризует меру рассеяния значений  относительно общей средней . Чем дисперсия больше, тем дальше разбросаны  от средней, и наоборот, чем дисперсия меньше, тем они к средней ближе.

Теперь вычислим групповые дисперсии. Для этого, очевидно, нужно разбить совокупность на группы, при этом группировку можно выполнить разными способами. В Примере 55 мы упорядочили варианты  по возрастанию и провели удачную равнонаполненную группировку:

В результате получилось 5 групп объёмом , по которым мы рассчитали групповые средние:

И как вы правильно догадались, у нас будет 5 групповых дисперсий. По каждой группе своя.  Для этого нужно рассчитать квадраты отклонений  от СВОИХ групповых средних:

Тушеваться не надо, в Экселе мы эти вычисления выполним в несколько щелчков, и если вам не терпится посмотреть, как это происходит, то можно сразу перейти к видеоролику (см. ниже).

Таким образом, групповые дисперсии:

Групповая дисперсия характеризует меру разброса значений  группы относительно групповой средней. В нашем примере наименьшей получилась дисперсия по 2-й группе: , это означает, что варианты  этой группы расположены достаточно близко к . Максимальная дисперсия – в 5-й группе: , это означает, что многие варианты  этой группы расположены достаточно далеко от .

Следующая дисперсия:

внутригрупповая дисперсия – это средняя, а точнее средневзвешенная арифметическая групповых дисперсий:

И внимательный читатель заметил, что для нахождения внутригрупповой дисперсии не обязательно рассчитывать групповые дисперсии, ибо:
,
т.е. достаточно просуммировать числа нижней строки вышеприведённой таблицы.

Внутригрупповая дисперсия характеризует среднюю (средневзвешенную) вариацию значений  по группам. Должен сказать, что название «внутригрупповая» не совсем удачное и часто вызывает путаницу, в немалом количестве источников под ним понимают групповую дисперсию, и это тоже вполне себе логично. И посему точнее звучит «средняя из групповых».

И, наконец, ещё одна дисперсия :)

Рассмотрим общую среднюю  и групповые средние .

Межгрупповая дисперсия – это дисперсия групповых средних относительно общей средней:

Для компактности удобно оформить небольшую расчётную табличку:

Таким образом:

Межгрупповая дисперсия характеризует меру разброса групповых средних относительно общей средней. Чем эта дисперсия больше, тем дальше расположены групповые средние   (многие из них) относительно общей средней .

Для общей, внутригрупповой и межгрупповой дисперсий справедливо так называемое правило сложение дисперсий:

, то есть общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсии.

Примечание: в различных источниках встречаются разные обозначения этих дисперсий, и, кроме того, слагаемые правой части могут быть переставлены.

Проверим, всё ли мы правильно подсчитали:

 – получено верное равенство с точностью до погрешности округлений, таким образом, все дисперсии  найдены верно.

Следует отметить, что правило сложения дисперсий справедливо не только для выборочной совокупности (как в нашем примере), но и для совокупности генеральной. Это не важно. Однако здесь нужно помнить, что выборочные дисперсии являются смещёнными оценками соответствующих генеральных дисперсий, и выборочные дисперсии можно исправить. После поправки правило сложения дисперсий, естественно, останется справедливым.

Ну а теперь смотрим видео о том, как быстро расправиться со всем этим безобразием:

  Как вычислить дисперсии? (Ютуб)

И после изучения технической стороны вопроса вникнем в СМЫСЛ этих дисперсий.

Как отмечалось выше, общая дисперсия   характеризует меру вариации всей совокупности. И здесь есть такой элементарный вопрос: а почему варианты  вообще разные, почему значения варьируются? Очевидно, они варьируются под действием ряда ФАКТОРОВ (как неслучайных, так и случайных). Таким образом, общая дисперсия учитывает все причины (факторы), которые обуславливают вариацию. Так в примере со станками разная металлоёмкость обусловлена различными типами станков, разными «поколениями» оборудования, разными условиями эксплуатации и, скорее всего, и другими причинами. И общая дисперсия  учитывает ВСЕ эти факторы.

Теперь смотрим на правило сложения дисперсий:
, то есть, общая дисперсия включает в себя внутригрупповую и межгрупповую дисперсию.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию, обусловленную фактором, который лёг в основу группировки.

Внутригрупповая дисперсия отражает вариацию, обусловленную другими факторами.

И даже если мы сгруппировали данные формально (как в нашем примере), то в основе группировки всё равно лежит некоторый группировочный фактор. Ибо числа-то в группах разные и тому есть причина! Условно предположим, что станки разбиты на 5 групп по их «поколениям» – от новейших до «древнейших». Тогда межгрупповая дисперсия  отражает вариацию, обусловленную этим фактором (тем фактом, что станки принадлежат разным «поколениям»). А внутригрупповая дисперсия объясняется другими факторами.

Возникает вопрос: как оценить СУЩЕСТВЕННОСТЬ ВЛИЯНИЯ фактора, который лёг в основу группировки? Ответ очевиден: чем больше межгрупповая дисперсия , тем сильнее влияние группировочного фактора. И для оценки существенности влияния рассчитывают эмпирический коэффициент детерминации (причинности), равный отношению межгрупповой дисперсии к дисперсии общей:
  ( – греческая буква «эта»)

Этот коэффициент характеризует долю вариации, объяснённую группировочным фактором.

В нашей задаче:

Таким образом, 85% вариации металлоёмкости объясняется тем фактом, что станки принадлежат разным «поколения», и оставшаяся часть вариации (15%) объясняется другими причинами.

Следует отметить, что это всего лишь одна из математических моделей. В том смысле, что мы можем рассмотреть другой группировочный фактор, провести новую группировку, подсчитать дисперсии и, возможно, тоже получить высокий коэффициент детерминации. И в этом не будет противоречия, ибо второй фактор по своей сути или через «перекрёстную взаимосвязь» может «накладываться»  на фактор первой модели.

Эмпирический коэффициент детерминации изменяется в пределах , и чем он ближе к единице, тем сильнее влияние группировочного фактора на вариацию статистической совокупности. Если , то речь идёт о строгой функциональной зависимости, в этом случае , то есть внутригрупповая дисперсия (по правилу сложения) равна нулю: , и это в свою очередь означает, что в каждой группе находятся одинаковые и строго определённые значения (т.е. вариация по группам отсутствует).

Наоборот, чем ближе  к нулю, тем влияние группировочного фактора меньше; математически это означает, что межгрупповая дисперсия  слишком малА, а это в свою очередь значит, что групповые средние  расположены очень близко к общей средней . И логика здесь простА: если мы провели группировку и получили примерно одинаковые средние по группам, то влияние фактора явно слабО. Но это ещё не значит, что сам фактор не важный ;)

Об этом и других коэффициентах мы ещё поговорим, даже отдельный урок можно организовать, а пока вернёмся к нашим дисперсиям. Как вы знаете, дисперсию можно вычислить по определению или по формуле, и поэтому в разных задачах вы можете встретить разные формулы. Кроме того, вам могут быть предложены различные вариационные ряды, например, ряды не просто с «одиночными» вариантами, но ещё и с частотами по каждой группе:

Пример 60

Распределение рабочих трех заводов одного объединения по тарифным разрядам характеризуется следующими данными:

Определить:
а) общую дисперсию;
б) дисперсию по каждому заводу (групповые дисперсии);
в) среднюю из групповых дисперсий (внутригрупповую дисперсию);
г) межгрупповую дисперсию;
д) проверить правило сложения дисперсий
е) вычислить эмпирический коэффициент детерминации и сделать вывод о том, насколько значимо различается квалификация рабочих на заводах. Иными словами, нужно выяснить, нанимали ли на какие-то заводы более квалицированных рабочих, чем на другие, или же квалификация по заводам примерно одинакова?

Числа и шаблон уже в Экселе! Вам остаётся только выполнить вычисления. По существу, в условии даны три (даже четыре) дискретных вариационных ряда, и по каждому из них требуется рассчитать среднюю и дисперсию. Дисперсии удобно найти по формуле; формулы набираем один раз и размножаем их через «Копировать - Вставить»  (см. видеоролик выше). Желаю успехов! 

Для интереса засёк время – все вычисления у меня заняли чуть меньше трёх минут! И это в такой-то «страшной» задаче. А эта «страшная» задача, к слову, была предложена заочникам; очников «кошмарят» гораздо хуже. Там и групп может быть с десяток и чисел больше, 100-200. В относительно «лёгких случаях» групп обычно не более пяти.

Следует отметить, что разобранные дисперсии используются и в других задачах математической статистики, где их нужно рассчитывать немного с другой спецификой. И эти задачи уже на подходе ;) На следующем уроке мы познакомимся с аналитической группировкой и гармонично разовьём тему с дисперсиями. Надеюсь, они вам понравились :)

Решения и ответы:

Пример 60. Решение: а) Заполним расчётную таблицу:

Вычислим общую среднюю:  (значение вычислено примерно, но далее для простоты я буду ставить знаки «равно»).
Вычислим общую дисперсию:

б) Заполним расчётную таблицу для каждой группы:

Найдем средние значения тарифного разряда по заводам (групповые средние):

Вычислим групповые дисперсии:
;

в) Вычислим среднюю из групповых (внутригрупповую) дисперсию:

г) Для нахождения межгрупповой дисперсии удобно заполнить расчётную табличку:

или расписать так:

д) Проверим правило сложения дисперсий:
 (см. пункт «а»), что и требовалось проверить

е) Вычислим эмпирический коэффициент детерминации:
, примерно ноль.

Таким образом, средняя квалификация рабочих по заводам практически одинакова (иными словами, фактор, положенный в основу группировки (распределение рабочих по заводам) не оказывает никакого влияния – нельзя сказать, что на какой-то завод специально нанимали более квалифицированных рабочих).

! Примечание: но группировочный фактор сам по себе важен, поскольку распределяет рабочих по заводам. Только вот на тарифные разряды это практически не влияет.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2021. Копирование материалов сайта запрещено