Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Взаимное расположение прямой и плоскости.
Основные задачи на прямую и плоскость

Как Волга неизбежно впадает в Каспийское море, так и плоскость в пространстве неминуемо встречается с прямой линией. И вот, после рассмотрения уравнения плоскости, уравнений пространственных прямых с типовыми задачами, настал долгожданный момент встретить бурными аплодисментами ещё целую группу примеров на плоскость и прямую в пространстве. Со многими приёмами решений мы уже знакомы из предыдущих уроков, поэтому особых трудностей возникнуть не должно. И сейчас я расскажу вам сказочку: Жили-были плоскость и прямая…. …так, стоп, надо умерять свои писательские потребности, а то сейчас уже пойдут откровенные гонки =) Давно думаю о своём блоге, да всё времени не хватает…. Высшей математики целый океан, и я приглашаю всех читателей зачистить бананы на очередном острове: 

Взаимное расположение прямой и плоскости

Рассмотрим плоскость  и прямую , заданную точкой  и направляющим вектором .

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1) прямая пересекает плоскость в некоторой точке ;

2) прямая параллельна плоскости: ;

3) прямая лежит в плоскости: . Да, так вот нагло взяла, и лежит.

Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости?

Изучим аналитические условия, которые позволят нам ответить на данный вопрос. Выполним схематический чертёж, на котором прямая пересекает плоскость:

Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда её направляющий вектор  не ортогонален вектору нормали  плоскости. 

Из утверждения следует, что скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: .

В координатах условие запишется следующим образом:

Если же данные векторы ортогональны, то есть если их скалярное произведение равно нулю: , то прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней:

Разграничим данные случаи.

Если прямая параллельна плоскости, то точка  (а значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) не удовлетворяет уравнению плоскости: .

Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости записывается следующей системой:

Если прямая лежит в плоскости, то точка  (а, значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) удовлетворяет уравнению плоскости: .

Аналитические условия данного случая запишутся похожей системой:

Разборки с взаимным расположением прямой и плоскости достаточно примитивны – всего в два шага. Кроме того, на практике можно обойтись даже без значка системы. Исследование взаимного расположения прямых в пространстве, которое проводилось на уроке Задачи с прямой в пространстве, намного трудозатратнее. А тут всё проще:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой  и направляющим вектором , и плоскости .

Решение: Вытащим вектор нормали плоскости: .

Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: , значит, прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Подставим координаты точки  в уравнение плоскости:

Получено верное равенство, следовательно, точка  лежит в данной плоскости. Разумеется, и любая точка прямой тоже будет принадлежать плоскости.

Ответ: прямая лежит в плоскости

Пример 2

Выяснить взаимное расположение плоскости  и прямой .

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.

После небольшой разминки мускулатуры начинаем накидывать блины на штангу:

Основные задачи на прямую и плоскость

Данная задача прям таки вертится в умах человечества, и встречается в практических задачах чаще всего. Когда я приступил к разработке пространственной геометрии, то, начиная с урока Уравнение плоскости, мне даже было немного неловко, что посетители сайта обманывались в своих ожиданиях. Многие задачи уже были, а вот этой ещё нет….

Рассмотрим прямую , которая пересекает плоскость . Требуется найти точку, в которой прямая пересекает плоскость: . Хотел разобрать задачу в общем виде, но передумал… лучше традиционный практический пример:

Пример 3

Дана прямая  и плоскость . Требуется:

а) доказать, что прямая пересекает плоскость;

б) найти точку пересечения прямой и плоскости;

в) через прямую  провести плоскость  («омега»), перпендикулярную плоскости ;

г) найти проекцию прямой  на плоскость ;

д) найти угол между прямой  и плоскостью .

НеслАбо. А ведь всё началось с единственной точки пересечения =)

Решение: Сначала закрепим задачу о взаимном расположении прямой и плоскости:

а) Из уравнений прямой находим принадлежащую ей точку и направляющий вектор:

Вектор нормали плоскости, как всегда, сдаётся без боя:

Вычислим скалярное произведение:
, значит, прямая пересекает плоскость, что и требовалось доказать.

Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

б) Найдём точку пересечения плоскости и прямой: . Не «Чёрный квадрат» Малевича, но тоже шедевр:

Приём решения стандартен и хорошо известен из статьи Задачи с прямой в пространстве. Сначала перепишем уравнения прямой в параметрической форме:

Точка  принадлежит данной прямой, поэтому её координаты  при некотором значении параметра  удовлетворяют параметрическим уравнениям:
, или одной строчкой: .

С другой стороны, точка  принадлежит и плоскости , следовательно, координаты точки должны удовлетворять уравнению плоскости , то есть должно выполняться равенство:

 – ну, или попросту параметрические координаты точки нужно подставить в уравнение плоскости.

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим «тэ нулевое»:

 – полученное значение параметра подставляем в параметрические выражения координат нашей точки:

Интересно, что в данном пункте всё обошлось даже без векторов.

Чистка хвоста очевидна: координаты точки  должны «подходить» и в уравнения прямой и в уравнение плоскости. Проверку несложно выполнить устно.

в) Найдём уравнение плоскости , которая перпендикулярна плоскости  и проходит через прямую . Задача весьма напоминает Пример № 12 урока Уравнение плоскости, в котором мы рассмотрели построение перпендикулярной плоскости, проходящей через две точки.

Выполним схематический чертёж:

Как найти угол между прямой и плоскостью?

д) Логическое продолжение темы.

Если прямая  не перпендикулярна плоскости , то углом  между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой  и её проекцией на плоскость . Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен 90 градусов.

Продолжим эксплуатацию геометрического инвентаря:                         

Справедлива следующая формула синуса угла между прямой и плоскостью:

(вывод формулы можно посмотреть, например, в учебнике Атанасяна-Базылева).

Таким образом, для нахождения данного  угла достаточно знать лишь нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой.

Скалярное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: . Обратите внимание, что в формуле скалярное произведение находится под знаком модуля, который «съедает» возможный «минус».

Вычислим длины векторов:

По формуле:

На иррациональность в знаменателе забиваем, поскольку нам нужен сам угол:

Выложим в ряд головы очередного Змея-Горыныча:

Ответ:
а) , значит, прямая пересекает плоскость;
б) ;
в) ;
г) ;
д)

Переходим к рассмотрению частного случая – когда:

Прямая перпендикулярна плоскости

В данном параграфе мы разберём ещё несколько распространённых задач. Чувствую, вы немного заскучали, поэтому пора предложить живительные примеры для самостоятельного решения. А потом ещё десяток =)

Пример 4

Дана плоскость  и точка . Требуется:

а) составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку , перпендикулярно данной плоскости;

б) найти точку  пересечения перпендикулярной прямой и плоскости;

в) найти точку , симметричную точке  относительно плоскости .

Идейно похожая «плоская» задача рассмотрена на уроке Задачи с прямой на плоскости.

Выполним схематический чертёж и коротко разберём алгоритм решения:

а) Как составить уравнения перпендикулярной прямой «дэ», думаю, объяснять не нужно. Подсказка есть прямо на чертеже.

б) Точка пересечения  перпендикулярной прямой и плоскости находится обычным способом (см. п. «б» предыдущего примера). К слову, точка  является проекцией прямой  на плоскость «сигма».

в) Рассмотрим отрезок . Если точка  симметрична точке  относительно плоскости, то, очевидно . Саму длину перпендикуляра  мы рассчитывали в Примере № 9 на уроке Уравнение плоскости, но сейчас речь не о длине. Точка  делит отрезок  пополам. По условию нам дан один из концов отрезка , а в предыдущем пункте найдена середина . Таким образом, по формулам деления отрезка пополам, нетрудно найти координаты нужной точки .

Полное решение и ответ в конце урока. Постарайтесь не заглядывать в образец, сложного-то здесь ничего нет.

Вопрос очевидный, но на всякий случай коснёмся обратной задачи: как составить уравнение плоскости, которая проходит через данную точку перпендикулярно данной прямой? Берём направляющий вектор прямой – он же является вектором нормали плоскости.

Поставлю и другую заплату, вроде в явном виде нигде не упоминал: можно ли составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, не принадлежащую прямой? Да, конечно, причём плоскость будет определена однозначно. Конкретный пример можно посмотреть в Пункте № 12 задачи с треугольной пирамидой.

Все задачи на пересечение прямой и плоскости, пожалуй, исчерпаны, теперь рассмотрим что-нибудь на прямую, параллельную плоскости. Таких примеров я отыскал совсем немного, и решил приютить одного сироту:

Пример 5

Даны скрещивающиеся прямые . Через прямую  провести плоскость, параллельную прямой .

Решение: Задача простая, но всё равно выполним схематический чертёж:

По условию требуется найти уравнение плоскости , которая проходит через прямую  параллельно второй прямой.

Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам.

Поскольку прямая  должна лежать в плоскости , то нам подойдёт произвольная точка , принадлежащая первой прямой, и её направляющий вектор:

С другой стороны, плоскость  должна быть параллельна прямой , а, значит, и её направляющему вектору .

Так как прямые скрещиваются, то их направляющие векторы  будут не коллинеарны.

Уравнение плоскости  составим по точке  и двум неколлинеарным векторам :

Ответ:

Используя материалы начала урока, можно выполнить проверку – убедиться, что первая прямая действительно лежит в полученной плоскости, а вторая прямая – параллельна ей.

Аналогично можно составить уравнение плоскости , которая проходит через прямую  параллельно прямой . Решение будет точно таким же, изменится только точка – необходимо взять какую-нибудь точку, принадлежащую второй прямой. Очевидно, что данные плоскости будут параллельны: .

Другие задачи по пространственной геометрии можно закачать на странице Бесплатные решения задач по высшей математике, только что заново пересмотрел свой архив, несколько десятков примеров точно есть.

По ходу создания данного урока мне совершенно случайно попалась на глаза одна методичка для студентов-заочников, где среди прочих заданий, как раз есть десять задач по аналитической геометрии в пространстве. Находка оказалась очень своевременной и удачной, поскольку предоставила отличную возможность дополнительно наполнить эту статью полезным материалом, а также прикинуть, насколько пОлно я рассмотрел всю тему. То есть, провести ещё и небольшое самотестирование.

Добро пожаловать в «реальные боевые условия»:  

Я перепишу условия всех десяти задач и кратко прокомментирую, как их решать. Желающие могут частично или полностью выполнить данные задания, правильные ответы – в конце урока.

1) Из точки  опустить перпендикуляр на плоскость

Смотрите Пример № 4 данного урока, пункт «а».

2) Найти проекцию точки  на плоскость

Проекция точки на плоскость – это в точности основание перпендикуляра, смотрите Пример № 4 данного урока, пункт «б». 

3) Через прямую  провести плоскость, перпендикулярную к плоскости .

Смотрите Пример № 3 данного урока, пункт «в».

4) Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые  и

Смотрите Пример № 17 урока Задачи с прямой в пространстве, пункт «б».

5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно плоскостям  и .

Вот этой задачи нигде не встречалось. Уравнение искомой плоскости нужно составить по точке  и двум нормальным векторам плоскостей.

6) Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки  на плоскость

Смотрите Пример № 9 урока Уравнение плоскости.

7) Найти уравнение плоскости, зная, что точка  служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Фактически нужно составить уравнение плоскости по точке  и вектору нормали , где точка  – начало координат.

8) Найти расстояние от точки  до прямой .

Смотрите Пример № 15 урока Задачи с прямой в пространстве, пункт «б».

9) Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную прямой .

Необходимо составить уравнение плоскости по точке  и вектору нормали.

10) Найти уравнения перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую

Смотрите Пример № 15 урока Задачи с прямой в пространстве, пункт «а».

Ну что же, из 10 пробных задач не разобрана только одна (№ 5), да и та простая. Таким образом, примерно с 90%-ной вероятностью, вы должны найти то, что нужно. Иногда, конечно, встречаются трудные задачи или задачи с дОнельзя зашифрованным условием, но это редкость.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте