Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициенетами.
Схема Горнера

В первой части урока мы вспомнили простейшие уравнения, и теперь я предлагаю вам обернуть свой взор в средние века, чтобы прочувствовать неповторимую атмосферу классической алгебры. Для лучшего понимания материала рекомендую хоть чуть-чуть ознакомиться с комплексными числами.

Они самые. Многочлены.

Объектом нашего интереса будут наиболее распространённые многочлены вида  с целыми коэффициентами . Натуральное число  называют степенью многочлена, число  – коэффициентом при старшей степени (или просто старшим коэффициентом), а коэффициент  – свободным членом.

Данный многочлен я буду свёрнуто обозначать через .

Корнями многочлена  называют корни уравнения

Обожаю железную логику =)

За примерами сходим в самое начало урока:

С нахождением корней многочленов 1-й и 2-й степеней нет никаких проблем, но по мере увеличения  эта задача становится всё труднее и труднее. Хотя с другой стороны – всё интереснее! И как раз этому будет посвящена вторая часть урока.

Сначала буквально пол экрана теории:

1) Согласно следствию основной теоремы алгебры, многочлен  степени имеет ровно  комплексных корней. Некоторые корни (или даже все) могут быть в частности действительными. При этом среди действительных корней могут встретиться одинаковые (кратные) корни (минимум два, максимум  штук).

Если некоторое комплексное число является корнем многочлена, то и сопряжённое ему число – тоже обязательно корень данного многочлена (сопряжённые комплексные корни имеют вид ).

Простейший пример – квадратное уравнение, которое впервые встретилось в 8 (вроде) классе, и которое мы окончательно «добили» в теме комплексных чисел. Напоминаю: квадратное уравнение имеет либо два различных действительных корня, либо кратные корни, либо сопряжённые комплексные корни.

2) Из теоремы Безу следует, что если число  является корнем уравнения , то соответствующий многочлен можно разложить на множители:
, где  – многочлен степени .

И опять же, наш старый пример: поскольку  – корень уравнения , то . После чего нетрудно получить хорошо знакомое «школьное» разложение .

Следствие теоремы Безу имеет большую практическую ценность: если мы знаем корень  уравнения 3-й степени , то можем представить его в виде  и из квадратного уравнения  легко узнать остальные корни. Если нам известен корень  уравнения 4-й степени , то есть возможность разложить левую часть в произведение  и т.д.

И вопроса здесь два:

Вопрос первый. Как найти этот самый корень ?  Прежде всего, давайте определимся с его природой: во многих задачах высшей математики требуется отыскать рациональные, в частности целые корни многочленов, и в этой связи далее нас будут интересовать преимущественно они…. …они такие хорошие, такие пушистые, что их прямо так и хочется найти! =)

Первое, что напрашивается – метод подбора. Рассмотрим, например, уравнение . Загвоздка здесь в свободном члене – вот если бы он равнялся нулю, то всё было бы в ажуре – выносим «икс» за скобки и корни сами «вываливаются» на поверхность:

Но у нас свободный член равен «тройке», и поэтому мы начинаем подставлять в уравнение  различные числа, претендующие на звание «корень». Прежде всего, напрашивается подстановка единичных значений. Подставим :

Получено неверное равенство, таким образом, единица «не подошла». Ну да ладно, подставляем :

Получено верное равенство! То есть, значение  является корнем данного уравнения.

Для отыскания корней многочлена 3-й степени существуют аналитический метод (так называемые формулы Кардано), но сейчас нас интересует несколько другая задача.

Поскольку  – есть корень нашего уравнения, то многочлен можно представить в виде  и возникает Второй вопрос: как отыскать «младшего собрата» ?

Простейшие алгебраические соображения подсказывают, что для этого нужно разделить  на . Как разделить многочлен на многочлен? Тем же школьным методом, которым делят обычные числа – «столбиком»! Данный способ универсален и разобран в первых примерах урока Сложные пределы. Но для двучлена 1-й степени есть и другой метод, который получил название схема Горнера.

Сначала запишем «старший» многочлен со всеми, в том числе нулевыми коэффициентами:
, после чего занесём эти коэффициенты (строго по порядку) в верхнюю строку таблицы:

Слева записываем корень :

Сразу же оговорюсь, что схема Горнера работает и в том случае, если «красное» число не является корнем многочлена. Однако не будем торопить события.

Сносим сверху старший коэффициент:


Процесс заполнения нижних ячеек чем-то напоминает вышивание, где «минус единица» – это своеобразная «игла», которая пронизывает последующие шаги. «Снесённое» число умножаем на (–1) и прибавляем к произведению число из верхней ячейки:

Найденное значение умножаем на «красную иглу» и к произведению прибавляем следующий коэффициент уравнения:

И, наконец, полученное значение снова «обрабатываем» «иглой» и верхним коэффициентом:

Ноль в последней ячейке говорит нам о том, что многочлен  разделился на  без остатка (как оно и должно быть), при этом коэффициенты разложения «снимаются» прямо из нижней строки таблицы:

Таким образом, от уравнения   мы перешли к равносильному уравнению  и с двумя оставшимися корнями всё ясно (в данном случае получаются сопряжённые комплексные корни).

Уравнение , к слову, можно решить и графически: построить «молнию»  и увидеть, что график пересекает ось абсцисс () в точке . Или тот же «хитрый» приём – переписываем уравнение в виде , чертим элементарные графики  и детектируем «иксовую» координату их точки пересечения.

Кстати, график любой функции-многочлена 3-й степени  пересекает ось  хотя бы один раз, а значит, соответствующее уравнение  имеет по меньшей мере один действительный корень. Данный факт справедлив для любой функции-многочлена нечётной степени.

И тут ещё хочется остановиться на важном моменте, который касается терминологии: многочлен и функция-многочлен – это не одно и то же! Но на практике частенько говорят, например, о «графике многочлена», что, конечно, небрежность.

Однако вернёмся к схеме Горнера. Как я недавно упомянул, эта схема работает и для других чисел, но если число  не является корнем уравнения , то в нашей формуле появляется ненулевая добавка (остаток):

«Прогоним» по схеме Горнера «неудачное» значение . При этом удобно использовать ту же таблицу – записываем слева новую «иглу», сносим сверху старший коэффициент (левая зелёная стрелка), и понеслось:

Для проверки раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК.

Легко заметить, что остаток («шестёрка») – это в точности значение многочлена  при . И в самом деле – что так:
, а ещё приятнее – вот так:

Из приведённых выкладок нетрудно понять, что схема Горнера позволяет не только разложить многочлен на множители, но и осуществить «цивилизованный» подбор корня. Предлагаю вам самостоятельно закрепить алгоритм вычислений небольшой задачей:

Задание 2

Используя схему Горнера, найти целый корень уравнения  и разложить соответствующий многочлен на множители

Иными словами, здесь нужно последовательно проверять числа 1, –1, 2, –2, … – до тех пор, пока в последнем столбце не «нарисуется» нулевой остаток. Это будет означать, что «игла» данной строки – есть корень многочлена

Вычисления удобно оформить в единой таблице. Подробное решение и ответ в конце урока.

Способ подбора корней хорош для относительно простых случаев, но если коэффициенты и/или степень многочлена велики, то процесс может затянуться. А может быть какие-то значения из того же списка 1, –1, 2, –2  и рассматривать-то смысла нет? И, кроме того, корни ведь могут оказаться и дробными, что приведёт к уж совсем не научному тыку.

К счастью, существуют две мощные теоремы, которые позволяют значительно сократить перебор значений-«кандидатов» в рациональные корни:

Теорема 1 Рассмотрим несократимую дробь , где  . Если число  является корнем многочлена с целыми (!) коэффициентами, то свободный член  делится на , а старший коэффициент  – на .

В частности, если старший коэффициент , то этот рациональный корень – целый:

И мы начинаем эксплуатировать теорему как раз с этой вкусной частности:

Вернёмся к уравнению . Так как его старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть исключительно целыми, причём свободный член должен обязательно делиться на эти корни без остатка. А «тройку» можно разделить только на 1, –1, 3 и –3. То есть у нас всего лишь 4 «кандидата в корни». И, согласно Теореме 1, другие рациональные числа не могут быть корнями данного уравнения В ПРИНЦИПЕ.

В уравнении  «претендентов» чуть больше: свободный член делится на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4.

Обратите внимание, что числа 1, –1 являются «завсегдатаями» списка возможных корней (очевидное следствие теоремы) и самым лучшим выбором для первоочередной проверки.

Переходим к более содержательным примерам:

Задача 3

Найти рациональные корни уравнения

Решение: поскольку старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть только целыми, при этом они обязательно должны быть делителями свободного члена. «Минус сорок» делится на следующие пары чисел:
 – итого 16 «кандидатов».

И здесь сразу появляется заманчивая мысль: а нельзя ли отсеять все отрицательные или все положительные корни? В ряде случаев можно! Сформулирую два признака:

1) Если все коэффициенты многочлена  неотрицательны или все неположительны, то он не может иметь положительных корней. К сожалению, это не наш случай( Вот если бы нам было дано уравнение  – тогда да, при подстановке любого  значение многочлена строго положительно , а значит, все положительные числа (причём, и иррациональные тоже) не могут быть корнями уравнения .

2) Если коэффициенты при нечётных степенях неотрицательны, а при всех чётных степенях (включая свободный член) – отрицательны, то многочлен  не может иметь отрицательных корней. Или «зеркально»: коэффициенты при нечётных степенях неположительны, и при всех чётных – положительны.

Это наш случай! Немного присмотревшись, можно заметить, что при подстановке в уравнение  любого отрицательного «икс» левая часть будет строго отрицательна, а значит, отрицательные корни отпадают

Таким образом, для исследования осталось 8 чисел:

Последовательно «заряжаем» их по схеме Горнера. Надеюсь, вы уже освоили устные вычисления:

Удача поджидала нас при тестировании «двойки». Таким образом  – есть корень рассматриваемого уравнения, и

Осталось исследовать уравнение . Это легко сделать через дискриминант, но я проведу показательную проверку по той же схеме. Во-первых, обратим внимание, что свободный член равен 20-ти, а значит, по Теореме 1 из списка возможных корней выпадают числа 8 и 40, и для исследования остаются значения (единица отсеялась по схеме Горнера).

Записываем коэффициенты трёхчлена  в верхнюю строку новой таблицы и начинаем проверку с той же «двойки». Почему? А потому что корни могут быть и кратны, пожалуйста:  – это уравнение имеет 10 одинаковых корней. Но не отвлекаемся:

И здесь я, конечно, немного слукавил, заведомо зная, что корни рациональны. Ведь если бы они были иррациональными или комплексными, то мне светила бы безуспешная проверка всех оставшихся чисел. Поэтому на практике руководствуйтесь дискриминантом.

Ответ: рациональные корни: 2, 4, 5

В разобранной задаче нам сопутствовала удача, потому что: а) сразу отвалились отрицательные значения, и б) мы очень быстро наткнулись на корень (а теоретически могли проверить и весь список ).

Но на самом деле ситуация бывает гораздо хуже. Приглашаю вас к просмотру увлекательной игры под названием «Последний герой»:

Задача 4

Найти рациональные корни уравнения

Решение: по Теореме 1, числители гипотетических рациональных корней  должны удовлетворять условию   (читаем «двенадцать делится на эль»), а знаменатели – условию . Исходя из этого, получаем два списка:

«список эль»:
и «список эм»:  (благо, здесь числа натуральные).

Теперь составим перечень всех возможных корней. Сначала «список эль» делим на . Совершенно понятно, что получатся те же самые числа. Для удобства занесём их в таблицу:

Далее к тем же числителям «эль» «примериваем» знаменатель :

Многие дроби сократились, в результате чего получись значения, которые уже есть в «списке героев». Добавляем только «новичков»:

Аналогично – делим тот же «список эль» на :

и, наконец, на

Таким образом, команда участников нашей игры укомплектована:

К сожалению, многочлен данной задачи не удовлетворяет «положительному» или «отрицательному» признаку, и поэтому мы не можем отбросить верхнюю или нижнюю строку. Придётся работать со всеми числами.

Как ваше настроение? Да ладно, выше нос – есть ещё одна теорема, которую можно образно назвать «теоремой-убийцей»…. …«кандидатов», конечно же =)

Но сначала нужно прокрутить схему Горнера хотя бы для одного целого числа. Традиционно возьмём единицу. В верхнюю строку запишем коэффициенты многочлена  и всё как обычно:

Поскольку четвёрка – это явно не ноль, то значение  не является корнем рассматриваемого многочлена. Но она нам очень поможет.

Теорема 2 Если при некотором целом значении  значение многочлена с целыми коэффициентами отлично от нуля: , то его рациональные корни   (если они есть) удовлетворяют условию

В нашем случае  и поэтому все возможные корни должны удовлетворять условию (назовём его Условием № 1). Данная четвёрка и будет «киллером» многих «кандидатов». В качестве демонстрации я рассмотрю несколько проверок:

Проверим «кандидата» . Для этого искусственно представим его в виде дроби , откуда хорошо видно, что . Вычислим проверочную разность: . Четыре делится на «минус два»: , а значит, возможный корень  прошёл испытание.

Проверим значение . Здесь   и проверочная разность составляет: . Разумеется, , и поэтому второй «испытуемый» тоже остаётся в списке.

Любопытно, что для его визави  разность составит  и он нас покидает, так как четвёрка, ежу понятно, не делится на «минус три»:

Ну и давайте распишу какую-нибудь дробь, например:  – наверное, вы заметили, что при наличии «минуса», его нужно относить СТРОГО в числитель!
Проверочная разность:
, и поэтому значение  тоже исключаем из списка потенциальных корней.

Вычисления на самом деле здесь устные, и рекомендую самостоятельно проверить все возможные корни. Не откажите себе в удовольствии перечертить таблицу и вычёркивать их прямо оттуда. В результате этой суровой проверки наша «команда» изрядно поредела:

Изначально было 24, осталось 10.

Вместо «тотальной зачистки», Условие 1 можно проверять и по ходу перебора возможных корней. Убедились, что следующий «кандидат» прошёл тест и сразу прокручиваем его по схеме Горнера:

С корнем мы снова «пролетели», но зато получили нового «киллера» . Составляем проверочный критерий: .

По Теореме 2 все рациональные корни  нашего многочлена (если они существуют) должны удовлетворять условию (Условие №2). И после проверки бравой десятки (а точнее, уже девятки) «кандидатов» в игре остаются «самые стойкие участники»:

И опять  – вместо того, чтобы «шерстить» всех «героев», можно придерживаться следующей схемы (предполагается, что список возможных корней не подвергался массовым проверкам):

– поскольку число 2 удовлетворяет Условиям № 1, 2, то применяем к нему схему Горнера (см. ниже). После чего, кстати, появляется Условие № 3: ;

– число -2 не удовлетворяет Условию 1, переходим к следующему «кандидату»;

– число 3 не удовлетворяет Условию 2, переходим к следующему «кандидату»;

– число -3 удовлетворяем всем трём Условиям, применяем к нему схему Горнера:

Таким образом, значение  является рациональным корнем нашего многочлена, и мы понижаем степень напряжённости:

Переходим к рассмотрению уравнения

Согласно Теореме 1, числители гипотетических корней  данного многочлена должны удовлетворять условию  , а знаменатели – условию . Исходя из этого, получаем два «урезанных» списка:

«список эль»:
и «список эм»:

Всё начинается «по новой»! …шутка =) =)

Слава те, многие корни уже отсеяны, и нам осталось проконтролировать, есть ли «последние герои»  среди чисел , которые можно получить из этих «урезанных» списков. Нас покидает число –3.

Коэффициенты многочлена  не позволяют отбросить положительного или отрицательного «героя», и поэтому мы продолжаем их «пилить» по схеме Горнера:

В результате исходный многочлен «разваливается» ещё больше:

ну и небольшая косметика:

И, наконец, разбираемся с квадратным уравнением :

– иррациональное число, из чего следует, что данное квадратное уравнение имеет 2 иррациональных корня, и, соответственно, «выжившие победители»  никак не могут быть корнями.

Ответ: рациональные корни:

Следует отметить, что для уравнения 4-й степени всё ещё существует аналитический способ нахождения корней (метод Феррари), но вот для уравнений бОльших степеней ситуация куда более грустная.

И да – чуть не забыл о важных частных случаях уравнения 4-й степени:

– если свободный член уравнения равен нулю, то, понятно, выносим «икс» за скобки;

– уравнение вида  называется биквадратным и сводится к квадратному путём замены  (пример решения можно найти в статье об интервалах знакопостоянства функции).

Я стараюсь учесть все пожелания – кто-то предпочитает задачки попроще, а кто-то посложнее:

Задание 5

Найти рациональные корни следующих многочленов:

Это примеры для нескучного времяпровождения. Все решения у меня в тетрадке перед глазами, но что-то приводить их не хочется, и поэтому внизу страницы только ответы.

Давайте систематизируем общий алгоритм. Итак, требуется найти рациональные корни уравнения :

1) С помощью Теоремы 1 определяем все возможные корни. В тяжёлых случаях их удобно оформить отдельной таблицей и затем вычёркивать.

2) Проверяем, можно ли сразу отсеять все отрицательные или все положительные числа.

3) Используем схему Горнера. Не забываем, что нулевые коэффициенты многочленов пропускать нельзя! Проверку целесообразно начать со значений 1 и –1, при этом, если потенциальных корней достаточно много, то на каждом шаге подключаем Теорему 2. Появляющиеся Условия 1, 2, 3, … можно проверять не в массовом порядке, а по мере перебора возможных корней (в этом случае дальнейший алгоритм несколько изменится). Теорема 2 работает тем эффективнее, чем остаток-«убийца» меньше по модулю.

4) В том случае если обнаружился корень , переходим к уравнению  и работаем с многочленом . Если это многочлен 2-й степени, исследуем его на наличие рациональных корней через дискриминант. Если степень многочлена больше двух, то, используя Теорему 1, снова определяем все возможные корни. И внимание! Здесь нужно проверить, входят ли «выжившие кандидаты» в новый список, и отсеять тех, кто «не вписался в новые рамки». Кроме того, в некоторых случаях в новом списке появляются числа, которых нет в первоначальном списке, и эти значения тоже нужно отбросить. То есть «кандидатов» у нас убавиться может, а вот прибавиться – нет.

5) Далее алгоритм начинает зацикливаться. Анализируем коэффициенты многочлена  и выясняем, можно ли отсеять все положительные или все отрицательные значения.

6) Используем схему Горнера, при этом начинаем с того же самого значения  (если оно не отсеялось в Пункте № 4). Совершенно понятно, что в первую очередь выгоднее проверять целые и малые возможные корни. В том случае если обнаружился корень , переходим к уравнению  и работаем с многочленом . Если это многочлен 2-й степени, то… и так далее – пока «не закончатся» уравнения или «кандидаты».

Я очень рад, что вы дочитали статью до конца, и хочу завершить урок тем, чем начинал, а именно – уравнениями в высшей математике. Разумеется, в высшей математике гораздо больше различных типов уравнений, в частности, в ближайших статьях по алгебре вам встретятся уравнения с комплексными коэффициентами. И более того, коэффициентами и корнями уравнений могут быть не только числа, но и объекты другой природы. Так, например, корнями матричных уравнений являются матрицы, корнями дифференциальных уравнений – функции и т.д. Но эта информация не должна вас пугать – вряд ли новые виды уравнений окажутся сильно сложнее «школьных» уравнений.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Задание 2 Решение: используем схему Горнера:

Ответ:  – целый корень многочлена,

Задание 5 Ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте