Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Конформное отображение.
Растяжение и угол поворота. Длина и площадь образа

Спокойствие, только спокойствие (с)

И вновь эта волшебная цитата помогает нам обрести самообладание! Скоро мы разберёмся во всех словах заголовка, с толком, расстановкой, не спеша – одно за другим. Само собой, будут и практические примеры, с банкой варенья и плюшками решениями и подробными объяснениями. Начинаем, или как сейчас модно говорить, поехали (с)

На первом занятии по комплексному анализу мы познакомились с понятием функции комплексной переменной . Это и есть отображение. В общем случае оно отображает разные линии плоскости  в разные линии плоскости , чему мы воочию убедились на уроке Как отобразить линию и область с помощью комплексной функции? При этом прямая может запросто превратиться в кривую или наоборот, а уж кривая в иную кривую – подавно.

И для пущей наглядности отобразим прямоугольную «сетку» плоскости  (см. чертёж ниже). Что мы видим по итогу на плоскости ? …Смещение точек. …Поворот «сетки», причём в разных местах – на разные углы. Её искажение, тоже неравномерное: в районе точки  наблюдается растяжение, а в районе  – сжатие. Вспоминая алгебру, то, что изображено слева, называют прообразом отображения, а результат справа – образом отображения.

Но это всё общие признаки, характерные для многих функций. Однако среди них есть особый класс – конформные отображения, которые сохраняют углы между линиями. И такой пример приведён на иллюстрации.  Рассмотрим точку , которую функция  перевела в точку . При этом прямая  отобразилась в верхнюю кривую, проведём касательную  к этой кривой в точке . Аналогично, прямая  отобразилась в левую кривую с касательной . Угол  – есть угол между кривыми-образами. …Разобрались?

Конформное отображение сохранило угол (в данном случае прямой) между  прообразами и образами: . При этом в точке  был осуществлён поворот «картинки» на угол , назовём его углом поворота. В данном случае это поворот против часовой стрелки, «на глазок» градусов на 30:

Очевидно, в разных точках углы поворота будут разными (в общем случае), так при отображении точки  он составляет где-то около 45 градусов, и коль скоро оно конформное, то, естественно, сохранён прямой угол.

Более того, конформное отображение сохраняет вообще все углы (не только прямые) между произвольными линиями, проведёнными через точку. Возьмите в руки карандаш (да-да, реально возьмите), нарисуйте систему  и поставьте точку  в том же месте. Проведите через неё две гладкие кривые (любые) и касательные  к ним.  Угол между касательными  – есть угол  между кривыми. Так вот, конформное отображение : 1) сохранит угол  в точке   между линиями-образами (касательными  к ним):  и  2) осуществит поворот «картинки» на тот же самый угол поворота .

…Если не осилили, вдумчиво перечитайте материал ещё раз. Главное тут не запутаться в углах: угол поворота постоянен (в той или иной точке), а вот углы между произвольными линиями могут быть любыми – и их конформное отображение сохраняет. Можно ещё сказать так: бесконечно малый треугольник с вершиной в точке  отображается в подобный ему (с теми  же углами) бесконечно малый криволинейный (в общем случае) треугольник с вершиной в точке , повёрнутый на угол . Вместо треугольника, разумеется, можно рассмотреть другую геометрическую фигуру. Такой вот математический калейдоскоп.

А вот примеры неконформного отображения прямоугольной «сетки», выражаю благодарность вольному художнику Википедии, откуда я позаимствовал этот и часть предыдущего чертежа:

Здесь углы между линиями не сохраняются. …Долго не смотрИте, не комфортно.

Хотел всё объяснить покороче, но покороче не получилось :) Теперь ближе к практике.

Функция , регулярная (аналитичная) в области, осуществляет конформное отображение этой области – в тех точках, где её производная отлична от нуля: . Причём, модуль производной  в точке  равен коэффициенту изменения масштаба при отображении точки  (её достаточно малой окрестности), а аргумент  – есть в точности угол поворота.

Если , то в достаточно малой окрестности точки  расстояния между точками при отображении увеличиваются в  раз, то есть происходит растяжение. Если же  то имеет место сжатие в  раз. И совершенно понятна ситуация с аргументом: при  угол поворота осуществляется против часовой стрелки, а при  – по часовой.

Следует добавить, что регулярность функции является достаточным, но не необходимым условием конформности, то есть существуют неаналитические функции, которые, тем не менее, осуществляют конформное отображение.

Рассмотрим два «классических» примера, один из которых был в самом начале курса:

 – эта функция, очевидно, «вытягивает» все точки плоскости  в два раза (за исключением начала координат), отображая их на плоскость  – мысленно подставьте любое ненулевое . Таким образом, ситуация понятна и без производной, однако проведём исследование формально.

Как легко выяснить, эта функция дифференцируема на всей комплексной плоскости: , а значит, регулярна в ней и осуществляют конформное отображение всюду, коль скоро производная ненулевая константа. Так как  для любого «зет», то происходит растяжение плоскости  в два раза при отображении её на , при этом поворот везде нулевой – по той причине, что аргумент  .

Нетрудно понять, что функция  выполняет хорошо знакомое нам преобразование подобия (гомотетию) с масштабирующим коэффициентом «ка».

Теперь второй пример, . Эта функция тоже аналитична на всей комплексной плоскости: , но отображение конформно уже не везде. А именно, неконформно оно в начале координат, где производная обращается в ноль . Углы между линиями, проходящими через точку , не сохраняются, а увеличиваются в два раза (обоснование этого факта можно найти в учебной литературе).

И для окончательного понимания рассмотрим какую-нибудь «хорошую» точку, возьмём , и вычислим производную в ней: . Определим модуль и аргумент полученного значения:


Итак, представьте две произвольные линии, проходящие через точку  и угол между ними (угол между соответствующими касательными). Что делает конформное отображение  в бесконечно малой окрестности точки ?

1) Переводит эти линии в другие линии (общий случай) на плоскости  и сохраняет углы между ними.

2) Уменьшает масштаб в 5 раз, ибо , то есть образы (полученные линии) оказываются в 5 раз меньше прообразов.

3) Осуществляет поворот на  (по часовой стрелке), то есть образы оказываются повёрнуты на этот угол по отношению к прообразам.

И мы переходим к реальным задачам, формулировка которых малопонятна для неискушенного читателя, впрочем, их можно решить и чисто формально – безо всякого понимания:

Пример 1

Найти коэффициенты изменения масштаба и углы поворота при отображении  в точках  ,

Решение: как мы выяснили на практикуме по производным, элементарные функции комплексной переменной регулярны в своих областях определения, следовательно, осуществляют конформное отображение… в тех, точках, где производная отлична от нуля – не забываем об этом условии!

Берём производную-мечту: , и для удобства сразу представим её в алгебраической форме. Так как , то по свойству степеней и формуле Эйлера:

1) Определим коэффициент изменения масштаба и угол поворота в точке . Для неё  и по только полученной формуле:

Вычислим модуль полученного значения, то есть коэффициент масштабирования:

 – вот оно как! Таким образом, в бесконечно малой окрестности точки   функция   не меняет масштаб образов (по отношению к прообразами).

Определим аргумент, то есть угол поворота:

 – таким образом, в бесконечно малой окрестности точки  функция  осуществляет поворот отображаемых точек на один радиан против часовой стрелки.

И самое главное, конформное отображение  сохранило углы между линиями, проходящими через точку  (в её бесконечно малой окрестности). Более того, углы сохраняются в любой точке комплексной плоскости, ибо экспонента регулярна всюду и её производная нигде не обращается в ноль .

2) На очереди точка . Для неё  и по той же формуле  получаем:

Вычислим коэффициент масштабирования:
 – таким образом, в бесконечно малой окрестности точки   образы оказываются в два раза больше прообразов, то есть функция  выполнила двукратное растяжение.

Найдём угол поворота. Поскольку значение производной лежит во 2-й координатной четверти, то аргумент рассчитывается по несколько другой формуле:
 – таким образом, итоговая «картинка» повёрнута на 135 градусов против часовой стрелки (относительно прообраза)

Готово.

На практике коэффициент масштабирования также называют коэффициентом искажения масштаба, а чаще коэффициентом растяжения, подразумевая, что это частности может оказаться и сжатием. Вот типовая формулировка и задание для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти коэффициент растяжения  и угол поворота   при заданных отображениях  в данных точках:
1)  в точке , вновь справочно приведу формулы:

2)  в точке .

Сделать выводы.

Решаем, сверяемся (внизу страницы) и продолжаем. Те же задачи, в более затейливой вариации:

Пример 3

Дано отображение

а) Найти множество точек, в которых коэффициент растяжения равен единице.
б) Выяснить, в каких точках комплексной плоскости угол поворота равен нулю.

Решение: элементарная функция  регулярна на всей комплексной плоскости, найдём её производную: . Очевидно, отображение конформно всюду, кроме начала координат, где производная обращается в ноль. Обращаю внимание, что точка  сразу исключается из рассмотрения, так как в ней не идёт речи о коэффициенте растяжения и угле поворота (о постоянстве этих величин).

а) Выделим действительную и мнимую часть производной. Так как , то:

Составим функцию модуля производной:
 – в результате получена функция двух действительных переменных, которая каждому комплексному «зет» ставит в соответствие модуль производной в этой точке. Обозначим её буквой , ибо она возвращает нам коэффициент растяжения.

По условию, нужно найти множество точек, в которых коэффициент растяжения равен единице:

и после простецких манипуляций выясняем, что это:

 – окружность с центром в начале координат радиуса

Во всех точках этой окружности (их бесконечно малых окрестностях) конформное отображение  сохраняет  масштаб неизменным (не сжимает и не растягивает расстояния между отображаемыми точками).

б) Выясним, в каких точках комплексной плоскости угол поворота равен нулю, а именно, это те точки , в которых . Вытащим на свет громоздкую формулу аргумента:

Теперь нужно выбрать нужную «ветку». Значению  (нулевому углу) соответствуют числа, лежащие на действительной положительной полуоси, а они удовлетворяют условию . Что соответствует первой строчке формулы:

Как мы выясняли в предыдущем пункте, , таким образом,  и уравнение  принимает вид:

, и здесь очень важно не потерять условие , из которого сразу следует, что  (вспоминаем элементарные неравенства).

Теперь разруливаем уравнение: сокращаем на двойку, выносим из-под арктангенса «минус» (нечётность) и избавляемся от «минуса»:

Таким образом:
, откуда следует, что

В результате получаем множество чисел  с нулевой действительной частью, то бишь это точки  мнимой оси, причём только её нижней части – ввиду условия  .

Вывод: конформное отображение   не поворачивает отображаемые объекты в точках   (их бесконечно малых окрестностях).

Ответ: а) , б) .

Эпичная функция, и задания пусть будут позанятнее:

Пример 4

Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается / сжимается / остаётся неизменной при отображении .  Определить множество точек, где оно осуществляет поворот на 90 градусов, на 135 градусов.

Решаем самостоятельно, формула Эйлера в помощь, а также памятка по простейшим тригонометрическим уравнениям и неравенствам, а то с углами переборщил я малость :) Хотя, в сборниках есть и технически более сложные примеры. Сверяемся с образцом внизу страницы и переходим к следующей теме.

Длина и площадь образа отображения

Здесь проще разобраться на конкретном примере, скопирую картинку из Примера 4 урока Как отобразить линию и область с помощью комплексной функции. В той задаче мы отобразили область  (прообраз) в область  (образ) с помощью функции :

И тот самый «Пакмэн» для самостоятельного решения:

Пример 6

Дано отображение:

Требуется:

0) Найти угол поворота и коэффициент искажения в точке  – это так, шутя, и вычислить:

1) длину образа отрезка ;
2) длину образа дуги ;
3) площадь .

В пункте 3 угол уже найден, он хороший  – смело переходИте к полярным координатам, получившийся интеграл сведите к котангенсу и его производной (см. Примеры 15-16 урока Сложные интегралы, там же, к слову, есть интеграл пункта 1).

…Душевное у нас получилось занятие, немногие дожили до концовки :) Но оно стоило того – многое, что было изучено ранее – развернулось во всей красе.

Курс на интегралы! (ожидаются)

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте