Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Вы находитесь на зеркале сайта mathprofi.ru

Форум, библиотека и блог: mathprofi


Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать несобственный
интеграл на сходимость?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Онлайн курсы для всех!



  Карта сайта


14. Группировка данных. Виды группировок.
Перегруппировка


Эта статья условно открывает вторую часть курса Математической статистики, и начнём мы с простенького материала, который вполне бы мог войти в 1-й урок, но оказался там немного не в тему, поскольку сам открывает большую тему :)

Рассмотрим некоторую статистическую совокупность, например, множество студентов ВУЗа. Очевидно, это множество можно исследовать как единое целое – подсчитать общее количество студентов, вычислить их средний возраст, среднюю успеваемость и др. характеристики. Благо, статистических данных – море. Но всё это общие характеристики. Во многих случаях совокупность целесообразно разделить на группы, то есть выполнить группировку.

Группировка – это разделение статистической совокупности (не важно, генеральной или выборочной) на группы по одному или бОльшему количеству признаков.

И разделить её можно по-разному. Во-первых, выделить качественно однородные группы. Например, разделить студентов ВУЗа на лиц М и Ж пола. Такая группировка называется типологической. Или, как вы любите говорить, «типа логической» :) Кстати, студенты уже по факту разделены на факультеты – и это тоже пример типологической группировки, но уже по другому признаку.

Итак, типологическая группировка – это разделение неоднородной статистической  совокупности на качественно однородные группы.

Само собой полученные группы исследуются по отдельности и сравниваются – как между собой, так и с общими показателями. При этом проводится структурная группировка – это разделение качественно однородной совокупности по какому-либо вариационному признаку. По росту, весу, уровню IQ, скорости движения, периоду полураспада и так далее. Признаков – тьма.  

Да будет свет! – в качестве простейшего условного примера рассмотрим среднюю успеваемость студентов ВУЗа:  (общая средняя). Но это не слишком информативный показатель.

Гораздо интереснее провести типологическую группировку, например, разделить всех студентов на «физиков» и «лириков», и подсчитать групповые средние: . Ну вот, теперь прекрасно видно, кому в универе жить хорошо :) Или рассчитать групповые средние по факультетам: . И выяснить, почему это на 2-м факультете такая низкая успеваемость по сравнению со средней успеваемостью  по ВУЗу.

Довольно часто грань между типологической и структурной группировкой стирается. Приведу избитый, но показательный пример с банками. Все банки можно разделить на мелкие, средние и крупные (типологическая группировка). Но с другой стороны, эти категории основаны на количественном показателе, мелкие – меньше одного литра, средние – от одного до трёх, и крупные – больше трёх литров. То есть, это одновременно и структурная группировка.

Следует отметить, что при кажущейся простоте провести подобную группировку бывает не так-то просто. Трудность состоит в том, чтобы грамотно выделить различные категории (типы), и для этого, порой, исследуют целый комплекс показателей. Эксперты Центробанки гарантируют :)

Кроме того, существуют и другие виды группировок, в частности, аналитическая группировка и комбинационная группировка. Но о них позже, после практической разминки.

Ранее мы уже неоднократно проводили группировку данных, давайте вспомним пару примеров:

Пример 4

По результатам выборочного исследования рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

В этой задаче была проведена структурная группировка рабочих цеха по их разряду и получен дискретный вариационный ряд:

где  – разряды, а  – количество рабочих того или иного разряда

Пример 6

По результатам исследования цены некоторого товара в различных торговых точках города, получены следующие данные (в некоторых денежных единицах):

В этом примере мы тоже провели структурную группировку (товаров по их цене) и получили интервальный вариационный ряд:

где  – количество товаров из того или иного ценового интервала.

И сейчас мы продолжим группировать данные. Студентам чаще всего предлагают провести структурную и аналитическую группировку; разберём их по порядку. Затем потренируемся в комбинационной группировке, ну а группировку типологическую я оставлю за кадром, полагаю, разделить совокупность на кошек и собак ни у кого не вызовет трудностей.

Суровая задача местного Политеха для студентов около- и машиностроительных специальностей:

Пример 55

В результате выборочного исследования 30 станков рассчитаны их относительные показатели металлоёмкости (т/кВт):

Требуется:

а) вычислить общую среднюю;

б) выполнить структурную равноинтервальную группировку;

в) выполнить структурную равнонаполненную группировку;

г) выбрать наиболее удачную группировку и вычислить выборочные средние; результаты оформить в виде групповой таблицы;

д) по выбранной группировке построить интервальный вариационный ряд;

е) сделать выводы.

Но прежде немного о содержании. Согласно автору методички, относительная металлоемкость – это частное от деления веса станка на мощность его двигателя (тонн на киловатт). Разделили, например, 5 тонн на 2 кВт и получили 2,5 тонны на один кВт. Эти значения и представлены в таблице. Правильность и достоверность перечисленных фактов в который раз оставлю на совести автора, да и, в конце концов, нам требуется обработать числа, а уж что это такое – не особо важно, хоть объём талии пчёлок. …И всё-таки математика немного шизофреническая наука :)

Решение:

Ну, с пунктом а) справится даже неподготовленный человек. Очевидно, что для нахождения общей средней нужно просуммировать все значения и разделить полученный результат на объём выборки:
 т/кВт  (не забываем указать размерность)

Эти и другие вычисления легко выполняются в Экселе, и чуть ниже будет ролик о том, как быстро выполнить все пункты задания. Ибо на калькуляторе щёлкать 30 слагаемых муторно (хотя, вариант вполне рабочий).

б) Выполним структурную равноинтервальную группировку. Пугаться не нужно, это задание уже было – нам нужно построить обычный интервальный вариационный ряд с равными интервалами, и я кратко повторю алгоритм.

В условии ничего не сказано о количестве интервалов, и поэтому для определения их оптимального количества используем формулу Стерджеса:
 интервалов (результат округляем влево).

Найдём минимальное  и максимальное  значения и вычислим размах вариации:  т/кВт. Таким образом, длина каждого интервала составит:  т/кВт. Теперь «нарезаем» интервалы и подсчитываем количество станков  в каждом из них:

Контроль: , что и требовалось проверить.

И уже сейчас мы видим, что построенный вариационный ряд не слишком хорош – по той причине, что в трёх последних интервалах слишком мало станков, и считать по ним средние значения и другие показатели не вполне корректно.

Во избежание этого недостатка используют разные методы, и один из них состоит в том, что использовать:

в) равнонаполненную группировку. Это разбиение совокупности на группы с одинаковым (или примерно одинаковым) количеством объектов, станков в данном случае. Но интервалы здесь получатся разной длины.
Отсортируем числа по возрастанию и выделим 5 групп по  станков в каждой:

Формально всё выглядит тип-топ (и можно оставить так), но некоторые значения логичнее перенести в соседние группы. Так, значение 0,5789 (верхняя строка) явно ближе к 1-й группе, а значение 2,6667 – к предпоследней группе; туда их и перенесём:

г) Очевидно, что равнонаполненная группировка более удачна, с ней и работаем. По каждой группе подсчитаем суммы, количество станков и выборочные средние. Результаты представим в виде групповой таблицы:

И на всякий пожарный примеры расчёта групповых средних:
 т/кВт;
 т/кВт;
и так далее. Вычисления удобно проводить опять же в Экселе (см. ролик ниже).

Да, кстати, не забываем предварительно проконтролировать объём выборки:
, что и требовалось проверить.

д) Построим интервальный вариационный ряд по равнонаполненной группировке. Границы интервалов можно брать как средние арифметические «стыковых» значений, например:  (граница между 1-м и 2-м интервалом). Но вполне допустимо (и даже лучше) разметить интервалы «на глазок», выбирая удобные «круглые» значения:

Полученный интервальный ряд имеет разную длину интервалов, но для него точно так же можно построить гистограмму, полигон и эмпирическую функцию распределения, а также рассчитать различные характеристики. Правда, с модой проблема будет и для её нахождения таки лучше использовать равноинтервальную группировку (пункт б).

Теперь смотрим ролик по быстрому и эффективному выполнению задания:

  Как выполнить структурную группировку и вычислить средние? (Ютуб)

Выражаясь научно, мы выполнили статистическую сводку. Статистическая сводка – это комплекс действий по обработке статистических данных с целью анализа спастической совокупности.  Причём, в пункте а) была простая статическая сводка (подсчёт общих показателей), которая переросла в сводку сложную, включающую в себя группировку данных, расчёт групповых характеристик и сведение результатов в групповую таблицу.

е) Я не случайно выделил этот пункт. Довольно часто в заданиях подобного типа требуется сделать краткие выводы – в них нужно отразить основные результаты выполненных действий и особенности исследуемой совокупности.

И мы сделаем простенькие выводы. Сказать здесь можно следующее. В результате исследования рассчитана средняя металлоёмкость  т/кВт по выборке и средние значения по группам равнонаполненной (наиболее удачной) группировки. Большинство станков (18 шт. в первых трёх группах) имеют показатель металлоёмкости меньший, чем средняя металлоёмкость по выборке. Пять станков (группа 5) обладают значительно бОльшей металлоёмкостью, чем остальные, и причины этого требуют отдельного анализа (возможно, станки морально устарели).

Несколько строчек вполне достаточно, даже многовато получилось.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 56

По результатам выборочного исследования 50 предприятий получены данные об их квартальной прибыли (числа в экселевском файле), млн. руб. Требуется: 1) вычислить среднюю прибыль, 2) провести равнонаполненную группировку и вычислить групповые средние, 3) построить соответствующий вариационный ряд, 4) сделать выводы.

Вообще, здесь удобно разбить выборку на 5 интервалов (и такой вариант вполне себе неплох), но от греха подальше лучше использовать формулу Стерджеса, что я и сделал в образце решения, который, как обычно, находится внизу страницы. Ваш вариант решения может немного отличаться от моей версии.

Теперь вернёмся к пункту «бэ» Примера 55, где была выполнена не слишком удачная равноинтервальная группировка, скопирую табличку сверху:

Как вы помните, от «куцых» интервалов мы избавились, выполнив равнонаполненную группировку. Но есть и другой метод «лечения», который называется перегруппировкой.

Перегруппировка – это вторичная группировка, которая состоит в преобразовании уже построенного вариационного ряда. И одним из инструментов перегруппировки является укрупнение интервалов. В данном случае можно просто объединить три последних интервала, и, коль скоро, нам известны первичные (исходные) данные, то заодно подкорректируем границы всех интервалов до удобных значений:

Не так, конечно, получилось подробно, как в равнонаполненной группировке, но тоже вполне наглядно. При желании, к слову, первый интервал легко измельчить, получив нечто близкое или даже совпадающее с этой группировкой. Благо, исходные числа в нашем распоряжении.

Но что делать, если первичные данные не известны?

Пример 57

Перегруппируйте следующие данные о численности работающих на 55 предприятиях, образовав следующие группы: до 400, 400-1000, 1000-3000, 3000-6000, свыше 6000:

В этой задаче мы не знаем исходные варианты (конкретную численность рабочих по предприятиям), но решение есть! Для удобства оформлю его по пунктам, ВНИМАТЕЛЬНО вникайте в суть:

1) Выделим новый промежуток «до 400» (красный цвет на рисунке ниже). В него, понятно, войдёт интервал «до 100» (4 предприятия) и часть интервала «100-500», а именно часть 100-400, выделенная коричневым цветом:

Теперь длину коричневой части  нужно сопоставить с длиной интервала «100-500» (с ):
 – таким образом, три четверти предприятий интервала «100-500» следует отнести в пользу промежутка «до 400»: .
Итого в промежутке «до 400» оказывается  предприятий.

…вроде всё просто, а объяснить было довольно сложно :) Соответственно, на кусок «400-500» останется  предприятия. Выражаясь кратко, этот принцип можно называть выделением пропорциональных долей. Доли выделяются пропорционально длинам частей интервала.

2) Выделим новый промежуток «400-1000». В него войдёт оставшийся старый «кусок» «400-500» с двумя предприятиями и старый интервал «500-1000» с  5 предприятиями:

Итого на промежутке «400-1000» оказалось  предприятий.

3) Выделим новый промежуток «1000-3000». В него полностью войдёт старый интервал «1000-2000» с 14 предприятиями и одна треть интервала с «2000-5000» с  предприятиями:

Нужную долю (одну треть) мы нашли как отношение длины коричневого интервала  к длине интервала «2000-5000» :

Таким образом, в промежуток «1000-3000» вошло  предприятий.

4) В новый промежуток «3000-6000» входят две трети старого интервала «2000-5000» (см. рис. выше), что составляет  предприятий (или ), и, кроме того, одна пятая старого интервала «5000-10000», к которой относится   предприятие:

Одна пятая найдена как отношение длины коричневого интервала «5000-6000» к длине интервала «5000-10000»:

Таким образом, в промежуток «3000-6000» вошло  предприятий.

5) И, наконец, в последний новый промежуток «свыше 6000» входят четыре пятых старого интервала «5000-10000» (см. рис. выше) или  предприятия, а также 3 предприятия старого интервала «10000-20000» и 1 предприятие интервала «свыше 20000».

Итого:  предприятий.

Перегруппировка завершена, новый вариационный ряд построен:

И обязательно проконтролируем объем выборки, мало ли что-то потерялось или мы где-то обсчитались:
, в чём и требовалось убедиться.

Следует отметить, что метод выделения долей, строго говоря, не точен, и если в нашем распоряжении есть первичные данные, то, конечно же, ориентируемся на них – в результате с высокой вероятностью получатся немного другие частоты по группам. Но для выборочной совокупности годится и долевая перегруппировка, поскольку от выборки к выборке мы всё равно будем получать разные значения и строить похожие, но всё же разные вариационные ряды.

Перегруппировка часто применятся для того чтобы сопоставить «родственные»  совокупности с разными интервалами:

Пример 58

По результатам выборочного исследования двух банок банков получены данные о заработной плате их служащих:

Сравнить уровень заработной платы банков, выделив интервалы: до 500, 500-1000,
1000-2000, 2000-3000, 3000-4000, 4000-5000, свыше 5000, и рассчитав относительные частоты по каждому банку. Результаты представить в виде общей таблицы, сделать выводы.

Для удобства я заготовил для вас Эксель-шаблон, не ленимся! Если трудно, то можно использовать рисунки с разметкой интервалов (по образцу предыдущего примера), в образце я ограничился аналитическим решением. 

И я жду вас на следующем уроке, который посвящён дисперсиям, коль скоро, были средние, то где-то рядом нас поджидают и дисперсии.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 56. Решение:

1) вычислим среднюю квартальную прибыль предприятий:
 млн. руб.

2)  Проведём равнонаполненную группировку с равным или примерно равным количеством предприятий в каждой группе.

Оптимальное количество интервалов определим по формуле Стерджеса:
  и, округляя влево, получаем 6 интервалов. Таким образом, в каждом интервале будет содержаться  – от 7 до 9 предприятий.

Упорядочим совокупность по возрастанию и выделим в ней следующие группы; в групповой таблице вычислим суммы и групповые средние:

Промежуточный контроль: , ч.т.п.

3) Построим интервальный вариационный ряд:

4) Средняя прибыль предприятий за квартал составила  млн. руб. Прибыль варьируется в пределах от 82 до 124 млн. руб. и равнонаполненная группировка показала, что распределение предприятий по данному показателю близкО к равномерному. То есть, практически нет предприятий со слишком большой или слишком малой прибылью.

З.Ы. Возможно, вы заметили что-то ещё! ;-)

Пример 58. Решение:  1) выполним перегруппировку по 1-му банку:

– В новый промежуток «до 500» войдут интервалы «до 100» и «100-500»:
 чел.

– Новые промежутки «500-1000, 1000-2000» совпадают со старыми интервалами.

– Новые промежутки «2000-3000, 3000-4000, 4000-5000» полностью входят в старый интервал «2000-5000». Делим частоту этого интервала на 3:
 – в каждый новый промежуток.
В промежутки «2000-3000, 3000-4000» относим по 11 человек, а в промежуток «4000-5000» – 10 человек (предполагая то, что людей с бОльшей заработной платой – меньше)

– Новый промежуток «5000 и более» совпадает со старым интервалом.

2) Выполним перегруппировку второго вариационного ряда:

– Старый интервал «до 1000» разобьём на два новых равных промежутка, при этом в промежуток «до 500» отнесём 5 человек, а в промежуток «500-1000» – 6 человек (предполагая, что людей с более низкой з/п – чуть меньше)

– В новый промежуток «1000-2000» входит интервал «1000-1500» и половина интервала «1500-2500», в людях это составит:
 чел.

– В новый промежуток «2000-3000» входит половина интервала «1500-2500» и  интервала «2500-4200», в людях это составляет:
 чел.

– В новый промежуток «3000-4000» входит  интервала «2500-4200», в людях это составляет:
 чел.

– В новый промежуток «4000-5000» входит  интервала «2500-4200» и  интервала «4200-6000», в людях это составит:

 чел.

– И в новый промежуток «свыше 5000» входит  интервала «4200-6000» и интервал «свыше 6000», в людях это составит:
 чел.

Результаты сведём в единую таблицу, при этом рассчитаем относительные частоты по каждому банку:

Краткие выводы: Для обоих банков характерна зарплата от 1000 до 2000 у.е., однако в 1-м банке чуть более высокий уровень заработной платы – значительное количество сотрудников получает более 2000 у.е. Но, скорее всего, основная их масса имеет з/п в диапазоне 2000-3000, здесь требуется дополнительное исследование первичных данных, поскольку формальное разбиение интервала «2000-5000» на три равных интервала не очень удачно.

З.Ы. Возможно, вы заметили что-то ещё! ;-)

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2021. Копирование материалов сайта запрещено